GCD - Extreme (II)

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本文介绍了一种使用欧拉函数和动态规划方法高效计算从1到n的所有整数与其后的每个整数之间的最大公约数之和的算法。通过预处理和累积和技巧，避免了直接调用gcd函数带来的超时问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意大概就如代码上所说的，

G=0;
for(i=1;i<N;i++)
for(j=i+1;j<=N;j++)
{
G+=gcd(i,j);
}

/*Here gcd() is a function that finds the greatest common divisor of the two input numbers*/

/*这里gcd（）是一个函数，二者中最大的公约数，输入数字*/

求i从1到n-1分别与i+1到n的最大公约数的和。

可以倒过来思考，就是求i从1到n-1与的最大公约数，（n的变化为1到n）；

n每增加一个1，循环就多一个 $\large \sum _{i=1}^{n}(i,n+1);$ 可用公式表示。

G(n)=G(n-1)+ $\large \sum _{i=1}^{n-1}(i,n);$

所以重点是求 $\large \sum _{i=1}^{n-1}(i,n);$ ，这里可用for循环打个表，记录下n从1到 4000001的前缀和，最后直接输出即可。

虽说这里是求最大公约数，但直接用gcd（），还是容易超时，这里可以用欧拉函数dp[n]的方法来间接求最大公约数。

可知 gcd（i，n）=1，（i和n均为素数），

当i和n的最大公约数为k的时候，即gcd（i，n）=k，可以这样写 gcd（i/k，n/k）=1；

所以求出，每个数的欧拉函数，再遍历k的值，使得 dp[i*k]*k,

当n为素数的时候， $\large \sum _{i=1}^{n-1}(i,n);$ =n-1；前面的数和它的最大公约数均为1，故累加得n-1，

代码如下：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define LL long long
const int N=4e6+10;
LL dp[N];
LL a[N];
void init()
{
     memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[1]=1;
    for(int i=2; i<=N; i++)//欧拉函数打表
    {
        if(!dp[i])
        {
            dp[i]=i-1;
            for(int j=2*i; j<=N; j+=i)
            {
                if(!dp[j])
                    dp[j]=j;
                dp[j]=dp[j]/i*(i-1);
            }
        }
        for(int j=1;i*j<=N;j++)//设公约数为j，
            a[i*j]+=dp[i]*j;
    }
    //for(int i=1;i<=30;i++)
     //   printf("%d\t",dp[i]);
}

  int main()
{
    LL n;
    init();
    for(int i=1; i<=N; i++)
        a[i]+=a[i-1];


    while(~scanf("%lld",&n)&&n)
        printf("%lld\n",a[n]);
        return 0;
}