最小生成树

最小生成树

最小生成树的定义

给定一个图$G = （V， E）$， 并且对于每条边$(u, v) \in E$的权重使用 $\omega(u, v)$ 来表示。我们希望找到一个无环子集$T \subseteq E$， 既能够将所有的节点连接起来，又具有最小的权重，即 $\omega(T) = \sum_{(u, v) \in T} \omega(u, v)$的值最小。由于T是无环的，并且连通所有的节点。因此，$T$必然是一颗树。我们称这样的树为生成树，我们称求取该生成树的问题为最小生成树问题。

简单的描述为：

解决最小生成树问题的两种算法为： Kruskal 算法 和 Prime 算法。
假定有一个连通的图$G = (V, E)$和权重函数$\omega: E \to R$, 我们希望找出图$G$的一颗最小生成树。对于Kruskal算法和Prime算法都是使用贪心算来解决这个问题的，但是他们使用的贪心策略的方式却是有所不同。
这个贪心策略可以有下面通用的方法来表述。该通用的方法在每个时刻生长最小生成树的一条边，并在整个策略的实施过程中。管理一个遵守下述循环不变式的边的集合$A$ :

在每遍循环之前，A是某棵最小生成树的一个子集

在每一步，我们要做的事情是选择一条边$(u, v)$， 将其加入到集合$A$中，使得$A$不违反循环不变式，及$A \cup \{(u, v)\}$。由于我们可以安全的将这种边加入到结合$A$而不破坏$A$的循环不变式，因此称这样的边的集合$A$的安全边

Kruskal 算法

在Kruaskal 算法中，集合$A$是一个深林，其节点就是给定图的节点。每次加入到集合$A$中的安全边永远都是权重最小的连接两个不同分量的边。
给定下面这个图，Kruaskal算法生成最小树的过程为：

step1: 在图中选择权值最小的边$(v1, v 4) 和 (v6, v7)$， 加入到集合$A$中。
step2: 在剩下未选着的边中继续选着权值最小的边$(v3, v4) 和 (v1, v2)$。所选择的边不能破坏A的循环不变式，及在A中的边不能师的所选着的顶点构成回路。
重复step2知道所有的顶点就相连接。
其伪代码为：

由于Kruskal算法是以边作为出发点的，因此该算法适合稀疏图。

Prime 算法

Prime 算法的工作原理与Dijkstra的最短路径算法相似。Prime算法所具有的一个性质是集合$A$中的边总是构成一棵树。这棵树从一个任意的根节点$r$开始,一直长大到覆盖$V$中所有节点时为止。算法每一步在连接$A$和$A$之外的顶点的所有边中，选择一条权重最小但是又不破坏构成最小生成树的规则(及选的边不能使得A中的顶点构成回路)。因此，当算法终止是，$A$中的边形成一颗最小生成树。
其Prime算法的计算过程为：

step1:假设我们选择顶点$v_{1}$作为出发点。则选择与$v_{1}$直接相连接权值最小的边$(v_{1}, v_{4})$。则有$A = \{v_{1}, v_{4}\}$。
step2: 在图未选着的边中选择与集合$A$中的顶点直接相连接具有权值最小的边，并且把顶点加入到集合$A$中。其中所选择的边不能使得集合$A$中的顶点构成回路。
step3: 重复step2知道所有的顶点都加入到了集合$A$中。
其伪代码为：

Reference：
(1). 《算法导论》第三版 Thomas H.Cormen et al.
(2). 数据结构–陈越、何钦铭