数据结构：点对之间最短距离--Floyd算法

                           Floyd算法

Floyd算法

    Dijkstra算法是用于解决单源最短路径问题的，Floyd算法则是解决点对之间最短路径问题的。Floyd算法的设计策略是动态规划，而Dijkstra采取的是贪心策略。当然，贪心算法就是动态规划的特例。

算法思想

    点对之间的最短路径只会有两种情况：

1. 两点之间有边相连，weight(Vi,Vj)即是最小的。
2. 通过另一点：中介点，两点相连，使weight(Vi,Vv)+weight(Vv,Vj)最小。

Min_Distance(Vi,Vj)=min{weight(Vi,Vj),weight(Vi,Vv)+weight(Vv,Vj)}。正是基于这种背后的逻辑，再加上动态规划的思想，构成了Floyd算法。故当Vv取完所有顶点后，Distance(Vi,Vj)即可达到最小。Floyd算法的起点就是图的邻接矩阵。

题外话：代码本身不重要，算法思想才是精髓。思想极难得到，而有了思想，稍加经验即可写出代码。向思想的开创者致敬！

思想很难，代码却比较简单，直接上代码

代码

类定义

[cpp] view plain copy

print ?

1. #include<iostream>    
2. #include<iomanip>  
3. #include<stack>  
4. using namespace std;  
5. #define MAXWEIGHT 100  
6. #undef INFINITY  
7. #define INFINITY 1000  
8. class Graph  
9. {  
10. private:  
11.     //顶点数    
12.     int numV;  
13.     //边数    
14.     int numE;  
15.     //邻接矩阵    
16.     int **matrix;  
17. public:  
18.     Graph(int numV);  
19.     //建图    
20.     void createGraph(int numE);  
21.     //析构方法    
22.     ~Graph();  
23.     //Floyd算法  
24.     void Floyd();  
25.     //打印邻接矩阵    
26.     void printAdjacentMatrix();  
27.     //检查输入    
28.     bool check(int, int, int);  
29. };  

#include<iostream>  
#include<iomanip>
#include<stack>
using namespace std;
#define MAXWEIGHT 100
#undef INFINITY
#define INFINITY 1000
class Graph
{
private:
	//顶点数  
	int numV;
	//边数  
	int numE;
	//邻接矩阵  
	int **matrix;
public:
	Graph(int numV);
	//建图  
	void createGraph(int numE);
	//析构方法  
	~Graph();
	//Floyd算法
	void Floyd();
	//打印邻接矩阵  
	void printAdjacentMatrix();
	//检查输入  
	bool check(int, int, int);
};

类实现

[cpp] view plain copy

print ?

1. //构造函数，指定顶点数目  
2. Graph::Graph(int numV)  
3. {  
4.     //对输入的顶点数进行检测  
5.     while (numV <= 0)  
6.     {  
7.         cout << "顶点数有误！重新输入 ";  
8.         cin >> numV;  
9.     }  
10.     this->numV = numV;  
11.     //构建邻接矩阵，并初始化  
12.     matrix = new int*[numV];  
13.     int i, j;  
14.     for (i = 0; i < numV; i++)  
15.         matrix[i] = new int[numV];  
16.     for (i = 0; i < numV; i++)  
17.     for (j = 0; j < numV; j++)  
18.     {  
19.         if (i == j)  
20.             matrix[i][i] = 0;  
21.         else  
22.             matrix[i][j] = INFINITY;  
23.     }  
24. }  
25. void Graph::createGraph(int numE)  
26. {  
27.     /* 
28.     对输入的边数做检测 
29.     一个numV个顶点的有向图，最多有numV*(numV - 1)条边 
30.     */  
31.     while (numE < 0 || numE > numV*(numV - 1))  
32.     {  
33.         cout << "边数有问题！重新输入 ";  
34.         cin >> numE;  
35.     }  
36.     this->numE = numE;  
37.     int tail, head, weight, i;  
38.     i = 0;  
39.     cout << "输入每条边的起点(弧尾)、终点(弧头)和权值" << endl;  
40.     while (i < numE)  
41.     {  
42.         cin >> tail >> head >> weight;  
43.         while (!check(tail, head, weight))  
44.         {  
45.             cout << "输入的边不正确！请重新输入 " << endl;  
46.             cin >> tail >> head >> weight;  
47.         }  
48.         matrix[tail][head] = weight;  
49.         i++;  
50.     }  
51. }  
52. Graph::~Graph()  
53. {  
54.     int i;  
55.     for (i = 0; i < numV; i++)  
56.         delete[] matrix[i];  
57.     delete[]matrix;  
58. }  
59. /* 
60. 弗洛伊德算法 
61. 求各顶点对之间的最短距离 
62. 及其路径 
63. */  
64. void Graph::Floyd()  
65. {  
66.     //为了不修改邻接矩阵，多用一个二维数组  
67.     int **Distance = new int*[numV];  
68.     int i, j;  
69.     for (i = 0; i < numV; i++)  
70.         Distance[i] = new int[numV];  
71.     //初始化  
72.     for (i = 0; i < numV; i++)  
73.     for (j = 0; j < numV; j++)  
74.         Distance[i][j] = matrix[i][j];  
75.   
76.     //prev数组  
77.     int **prev = new int*[numV];  
78.     for (i = 0; i < numV; i++)  
79.         prev[i] = new int[numV];  
80.     //初始化prev  
81.     for (i = 0; i < numV; i++)  
82.     for (j = 0; j < numV; j++)  
83.     {  
84.         if (matrix[i][j] == INFINITY)  
85.             prev[i][j] = -1;  
86.         else  
87.             prev[i][j] = i;  
88.     }  
89.       
90.     int d, v;  
91.     for (v = 0; v < numV; v++)  
92.     for (i = 0; i < numV; i++)  
93.     for (j = 0; j < numV; j++)  
94.     {  
95.         d = Distance[i][v] + Distance[v][j];  
96.         if (d < Distance[i][j])  
97.         {  
98.             Distance[i][j] = d;  
99.             prev[i][j] = v;  
100.         }  
101.     }  
102.     //打印Distance和prev数组  
103.     cout << "Distance..." << endl;  
104.     for (i = 0; i < numV; i++)  
105.     {  
106.         for (j = 0; j < numV; j++)  
107.             cout << setw(3) << Distance[i][j];  
108.         cout << endl;  
109.     }  
110.     cout << endl << "prev..." << endl;  
111.     for (i = 0; i < numV; i++)  
112.     {  
113.         for (j = 0; j < numV; j++)  
114.             cout << setw(3) << prev[i][j];  
115.         cout << endl;  
116.     }  
117.     cout << endl;  
118.     //打印顶点对最短路径  
119.     stack<int> s;  
120.     for (i = 0; i < numV; i++)  
121.     {  
122.         for (j = 0; j < numV; j++)  
123.         {  
124.             if (Distance[i][j] == 0);  
125.             else if (Distance[i][j] == INFINITY)  
126.                 cout << "顶点 " << i << " 到顶点 " << j << " 无路径！" << endl;  
127.             else  
128.             {  
129.                 s.push(j);  
130.                 v = j;  
131.                 do{  
132.                     v = prev[i][v];  
133.                     s.push(v);  
134.                 } while (v != i);  
135.                 //打印路径  
136.                 cout << "顶点 " << i << " 到顶点 " << j << " 的最短路径长度是 "  
137.                     << Distance[i][j] << " ，其路径序列是...";  
138.                 while (!s.empty())  
139.                 {  
140.                     cout << setw(3) << s.top();  
141.                     s.pop();  
142.                 }  
143.                 cout << endl;  
144.             }  
145.         }  
146.         cout << endl;  
147.     }  
148.     //释放空间  
149.     for (i = 0; i < numV; i++)  
150.     {  
151.         delete[] Distance[i];  
152.         delete[] prev[i];  
153.     }  
154.     delete[]Distance;  
155.     delete[]prev;  
156. }  
157. //打印邻接矩阵    
158. void Graph::printAdjacentMatrix()  
159. {  
160.     int i, j;  
161.     cout.setf(ios::left);  
162.     cout << setw(7) << " ";  
163.     for (i = 0; i < numV; i++)  
164.         cout << setw(7) << i;  
165.     cout << endl;  
166.     for (i = 0; i < numV; i++)  
167.     {  
168.         cout << setw(7) << i;  
169.         for (j = 0; j < numV; j++)  
170.             cout << setw(7) << matrix[i][j];  
171.         cout << endl;  
172.     }  
173. }  
174. bool Graph::check(int tail, int head, int weight)  
175. {  
176.     if (tail < 0 || tail >= numV || head < 0 || head >= numV  
177.         || weight <= 0 || weight >= MAXWEIGHT)  
178.         return false;  
179.     return true;  
180. }  

//构造函数，指定顶点数目
Graph::Graph(int numV)
{
	//对输入的顶点数进行检测
	while (numV <= 0)
	{
		cout << "顶点数有误！重新输入 ";
		cin >> numV;
	}
	this->numV = numV;
	//构建邻接矩阵，并初始化
	matrix = new int*[numV];
	int i, j;
	for (i = 0; i < numV; i++)
		matrix[i] = new int[numV];
	for (i = 0; i < numV; i++)
	for (j = 0; j < numV; j++)
	{
		if (i == j)
			matrix[i][i] = 0;
		else
			matrix[i][j] = INFINITY;
	}
}
void Graph::createGraph(int numE)
{
	/*
	对输入的边数做检测
	一个numV个顶点的有向图，最多有numV*(numV - 1)条边
	*/
	while (numE < 0 || numE > numV*(numV - 1))
	{
		cout << "边数有问题！重新输入 ";
		cin >> numE;
	}
	this->numE = numE;
	int tail, head, weight, i;
	i = 0;
	cout << "输入每条边的起点(弧尾)、终点(弧头)和权值" << endl;
	while (i < numE)
	{
		cin >> tail >> head >> weight;
		while (!check(tail, head, weight))
		{
			cout << "输入的边不正确！请重新输入 " << endl;
			cin >> tail >> head >> weight;
		}
		matrix[tail][head] = weight;
		i++;
	}
}
Graph::~Graph()
{
	int i;
	for (i = 0; i < numV; i++)
		delete[] matrix[i];
	delete[]matrix;
}
/*
弗洛伊德算法
求各顶点对之间的最短距离
及其路径
*/
void Graph::Floyd()
{
	//为了不修改邻接矩阵，多用一个二维数组
	int **Distance = new int*[numV];
	int i, j;
	for (i = 0; i < numV; i++)
		Distance[i] = new int[numV];
	//初始化
	for (i = 0; i < numV; i++)
	for (j = 0; j < numV; j++)
		Distance[i][j] = matrix[i][j];

	//prev数组
	int **prev = new int*[numV];
	for (i = 0; i < numV; i++)
		prev[i] = new int[numV];
	//初始化prev
	for (i = 0; i < numV; i++)
	for (j = 0; j < numV; j++)
	{
		if (matrix[i][j] == INFINITY)
			prev[i][j] = -1;
		else
			prev[i][j] = i;
	}
	
	int d, v;
	for (v = 0; v < numV; v++)
	for (i = 0; i < numV; i++)
	for (j = 0; j < numV; j++)
	{
		d = Distance[i][v] + Distance[v][j];
		if (d < Distance[i][j])
		{
			Distance[i][j] = d;
			prev[i][j] = v;
		}
	}
	//打印Distance和prev数组
	cout << "Distance..." << endl;
	for (i = 0; i < numV; i++)
	{
		for (j = 0; j < numV; j++)
			cout << setw(3) << Distance[i][j];
		cout << endl;
	}
	cout << endl << "prev..." << endl;
	for (i = 0; i < numV; i++)
	{
		for (j = 0; j < numV; j++)
			cout << setw(3) << prev[i][j];
		cout << endl;
	}
	cout << endl;
	//打印顶点对最短路径
	stack<int> s;
	for (i = 0; i < numV; i++)
	{
		for (j = 0; j < numV; j++)
		{
			if (Distance[i][j] == 0);
			else if (Distance[i][j] == INFINITY)
				cout << "顶点 " << i << " 到顶点 " << j << " 无路径！" << endl;
			else
			{
				s.push(j);
				v = j;
				do{
					v = prev[i][v];
					s.push(v);
				} while (v != i);
				//打印路径
				cout << "顶点 " << i << " 到顶点 " << j << " 的最短路径长度是 "
					<< Distance[i][j] << " ，其路径序列是...";
				while (!s.empty())
				{
					cout << setw(3) << s.top();
					s.pop();
				}
				cout << endl;
			}
		}
		cout << endl;
	}
	//释放空间
	for (i = 0; i < numV; i++)
	{
		delete[] Distance[i];
		delete[] prev[i];
	}
	delete[]Distance;
	delete[]prev;
}
//打印邻接矩阵  
void Graph::printAdjacentMatrix()
{
	int i, j;
	cout.setf(ios::left);
	cout << setw(7) << " ";
	for (i = 0; i < numV; i++)
		cout << setw(7) << i;
	cout << endl;
	for (i = 0; i < numV; i++)
	{
		cout << setw(7) << i;
		for (j = 0; j < numV; j++)
			cout << setw(7) << matrix[i][j];
		cout << endl;
	}
}
bool Graph::check(int tail, int head, int weight)
{
	if (tail < 0 || tail >= numV || head < 0 || head >= numV
		|| weight <= 0 || weight >= MAXWEIGHT)
		return false;
	return true;
}

主函数

[cpp] view plain copy

print ?

1. int main()  
2. {  
3.     cout << "******Floyd***by David***" << endl;  
4.     int numV, numE;  
5.     cout << "建图..." << endl;  
6.     cout << "输入顶点数 ";  
7.     cin >> numV;  
8.     Graph graph(numV);  
9.     cout << "输入边数 ";  
10.     cin >> numE;  
11.     graph.createGraph(numE);  
12.     cout << endl << "Floyd..." << endl;  
13.     graph.Floyd();  
14.     system("pause");  
15.     return 0;  
16. }  

int main()
{
	cout << "******Floyd***by David***" << endl;
	int numV, numE;
	cout << "建图..." << endl;
	cout << "输入顶点数 ";
	cin >> numV;
	Graph graph(numV);
	cout << "输入边数 ";
	cin >> numE;
	graph.createGraph(numE);
	cout << endl << "Floyd..." << endl;
	graph.Floyd();
	system("pause");
	return 0;
}

运行

小结

Floyd算法代码看似很长，其实并不难。代码中很多都是用于准备工作和输出，关键代码就是三层for循环。

完整代码下载：Floyd算法

转载请注明出处，本文地址：http://blog.youkuaiyun.com/zhangxiangdavaid/article/details/38366923

若有所帮助，顶一个哦！

专栏目录：

• 数据结构与算法目录
• c指针