欧拉定理学习20161004

初等数论四大定理（威尔逊定理，欧拉定理（数论中的欧拉定理），中国剩余定理(又称孙子定理)和费马小定理）

费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为： 假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

引理1．
　　若a,b,c为任意3个整数,m为正整数,且(m,c)=1,则当ac≡bc(modm)时,有a≡b(modm)
　　证明：ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因为(m,c)=1即m,c互质,c可以约去,a– b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)

引理2．
　　设m是一个整数,且m>1,b是一个整数且(m,b)=1.如果a1,a2,a3,a4,…am是模m的一个完全剩余系,则ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]也构成模m的一个完全剩余系.
　　

假如p是质数，若p不能整除a，则 a^(p-1) ≡1（mod p），若p能整除a，则a^(p-1) ≡0（mod p）。

若p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

证明：

因为p是质数，且（a，p)=1，所以φ(p)=p-1。由欧拉定理可得a^(p-1) ≡1（mod p）。证毕。对于该式又有a^p ≡a（mod p），所以，费马小定理的另一种表述为：假如p是质数，且(a,p)=1，那么a^p ≡a（mod p）。

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威尔逊定理

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若p为质数，则p可整除(p-1)!+1。

欧拉公式：

分式

当r=0或1时式子的值为0，当r=2时值为1，当r=3时值为a+b+c。

复变函数

，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”。

推导过程

推导过程

由此：

，

，然后采用两式相加减的方法得到：

，

.这两个也叫做欧拉公式。将

中的 x取作π就得到：

这个恒等式也叫做 欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e ^[2]  ，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1；以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

平面几何

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设△ABC的外心为O，内心为I，外接圆半径为R，内切圆半径为r，又记外心、内心的距离OI为d，则有

（1）式称为欧拉公式。

因为

，所以由欧拉公式得出一个副产品，即

拓扑学

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在代数拓扑中， 欧拉示性数（Euler characteristic）是一个拓扑不变量（事实上，是同伦不变量），对于一大类拓扑空间有定义。它通常记作

。

二维拓扑多面体的欧拉示性数可以用以下公式计算：

其中 V、 E和 F分别是点、边和面的个数。 特别的有，对于所有和一个球面同胚的多面体，我们有

统计学

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特征函数用欧拉公式：随机变量X的特征函数定义为

物理学

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众所周知，生活中处处存在着摩擦力，欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在桩上圈数之间的关系。现将欧拉这个颇有价值的公式列在这里：

其中，f表示我们施加的力，F表示与其对抗的力，e为自然对数的底，k表示绳与桩之间的摩擦系数，a表示缠绕转角，即绳索缠绕形成的弧长与弧半径之比。

在数论中， 欧拉定理,（也称 费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则:

费马小定理:

a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

证明这个定理非常简单，由于p是质数，所以有φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。推论：对于任意正整数a，有a^p ≡ a (mod p)，因为a能被p整除时结论显然成立。