六一童心未泯的朋友，看完没有不转的

六一儿童节，一起玩玩三个小学生家庭作业题。

S₁ = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …

S₂ = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + …

S₃ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …

 

一、S₁的求和过程最简单

S₁ = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …

1 - S₁ = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1- 1 + …)

            = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …

            = S₁

即

1 - S₁ = S₁

故

S₁ = 1/2

S₁被称为格兰迪(Grandi)级数，它有着很成熟的证明过程及结论。

 

二、S₂的求和过程要利用到S₁的结论

S₂ = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + … // 等式1

S₂ =      1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + … // 等式2，错开了一个位置

上面两个式子相加：

2S₂ = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 + …

= S₁ = 1/2

故

S₂ = 1/4

 

三、S₃的求和过程要利用到S₂的结论

S₃ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …

S₂ = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + …

上面两个式子相减：

S₃ - S₂ = (1 + 2 + 3+ 4 + 5 + 6 + …)

               - (1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + …)

              = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + …

              = 4*(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …)

              = 4*S₃

即

3*S₃ = -S₂ = -1/4

故

S₃ = -1/12

 

最终

S₃ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … = -1/12

 

正整数无穷求和公式，等于一个负数。

该结论在Joseph Polchinski所著的《STRING THEORY》一书有引用，并广泛应用于物理相关领域。

童心未泯的朋友，神奇吗？