计算流体力学-第一讲

第一讲 流体力学基本方程

一、要求掌握

1.计算流体力学(CFD)的概念及意义

2.流体力学的基本方程

3.偏微分方程组的类型

二、重点

1.流体力学的基本概念：连续介质假设，流动描述方法

2.N-S方程机器无量纲化（熟记）

3.双曲型方程性质

三、绪论

（一）定义

​ 计算流体力学，简称CFD，是通过数值方法求解流体力学控制方程，得到流场的离散的定量描述，并以此预测流体力学运动规律的学科。

（二）流动控制方程分类

1.理论解

（1）精确解

​ Poiseuille解、Blasius解、Plantdl湍流边界层解

（2）渐进解、近似解：

​ Stokes解

（3）缺陷

​ 方程复杂（非线性偏微方程组），解析解很难获得

2.数值解

（1）种类

​ 差分法、有限体积法、边界元法、谱（元）方法、粒子方法…

（2）特点

​ 借助计算机来实现数值求解

​ 在计算机产生之前，数值方法已经产生

（三）CFD面临的挑战及主要任务

1.复杂流动的数学模型

（1）湍流的计算模型

（2）转捩的预测模型

​ 什么时候层流变湍流？依赖流场本身，也依赖外界环境的扰动

（3）燃烧及化学反应模型

​ 飞机、汽车燃烧时的流动、化学化工硫化床中的流动

（4）噪声模型

2.高精度高效算法

（1）高精度激波捕捉法

​ 马赫数过高的时候，流场会出现间断

（2）间断有限元法

​ 算高精度网格

（3）大规模代数方程组高效解法

​ 网格点很多怎么快速高效的求解？

3.复杂外形、复杂网格处理方法

（1）自适应网格

​ 计算的外形不要变光滑，尽量保留

（2）直角网格，浸入边界法

（3）无网格法，粒子算法

（三）计算流体力学的主要方法

1.传统计算方法

​ 有限差分法、有限体积法、有限元法、谱方法（谱元法）等

2.最近发展的方法

​ 基于粒子的算法（格子-Boltzmann,BGK），无网格

	优点	缺点	适用范围
有限差分法	简单成熟，可构造高精度格式	处理复杂网格不够灵活（只能处理相对简单光滑的外形）	相对简单外形的高精度计算
有限体积法	守恒性好，可处理复杂网格	不易于提高精度（二阶以上方法复杂）	复杂外形的工程计算
有限元法	基于变分原理，守恒性好	对于复杂方程处理困难	多用于固体力学等
间断有限元法（DG）	精度高，守恒性好，易于处理复杂网格	计算量大； 捕捉激波（限制器）难度大	复杂外形的高精度计算
谱方法	精度高	外形、边界条件简单	简单外形的高精度计算
粒子类方法	算法简单，可处理复杂外形	精度不易于提高	复杂外形的工程计算

四、流体力学基本方程组

（一）基本概念

​ 连续介质假设 --> 流体连续地充满整个空间

​ （真的流体有分子，分子有间隙，因此不是连续充满的）

​ 流体质点：微观充分大，宏观充分小

​ 平均密度：控制体内流动的总质量/控制体体积

（二）流体描述方法

​ 作用：描述流体信息（密度、速度、压力、温度等）

​ 分类：

1.Euler描述(欧拉)

​ 给出每个时刻每个空间点上的物理量
$$f=f(x,y,z,t)$$

2.Lagrange描述（拉格朗日）

​ 跟踪每个流体质点，记录物理量随时间的变化
$$f=f(x0,y0,z0,t)$$

$$初始时刻的位置(x0,y0,z0)$$

​ 物质（随体：随着流体跑）导数
$$df/dt=\partial f/\partial t+V\ast \nabla f$$
CFD方法

​ 1.计算网格不动，求解NS方程：欧拉描述

​ 2.计算网格跟踪流体质点：拉格朗日描述（流体运动到哪，网格就运动到哪，网格会变形）

​ 3.计算网格运动，但不完全跟踪流体质点：ALE（动网格：任意拉格朗日欧拉方法）

（三）基本方程：基于Euler描述

1.目的

​ 给出物理量（密度ρ、速度V、压力P、温度T）满足的方程；

2.步骤

​ (1)围绕(x,y,z)点取一控制体；

​ (2)根据基本定律（质量、动量、能量守恒），给出控制体内总量（积分量）的变化规律；（总质量、总动量、总能量的变化规律：积分型方程）

​ (3)令控制体尺度趋近于0，得到(x,y,z)点的物理量的微分型方程θθ

3.特点

​ 控制体不动（Euler描述）

（四）控制方程——三大守恒定律

控制体质量（动量、能量）增加 = 穿过控制面流入的净质量（动量、能量）

​ ρ：质量密度，单位体积内的质量

​ θ：动量密度，单位体积内的动量

​ E：能量密度，单位体积内的总能量

θ = ρv（动量密度 = 质量密度*速度）

控制体质量（动量、能量）增加 = 传过控制面流入的净质量（动量、能量）

五、计算流通量

控制体质量（动量、能量）增加 = 传过控制面流入的净质量（动量、能量）

问题：如图，试着计算单位时间内流过右侧单位面积的质量、动量、总能量

注：外力冲量等同于流过的动量，外力做功等同于流过的能量

六、应力（张量）

（一）连续物体

怎么描述连续内部的力呢

​ “把物体切开，其内部的力就暴露出来”

​ “切的方向不同，表面上的力也不同”

（二）流体

基本概念：力与变形的关系（本构方程，应力-应变关系）

流体特性：静止状态不能承受剪切力

流体特性：粘性力与变形速率成正比（牛顿粘性定律）

（三）NS方程

（四）NS方程的各项物理含义剖析

（五）N-S方程的无量纲化

无量纲化：物理量与特征量之比

特征量：对于某物理量，人为设定的值（可任意）

（六）常见的无量纲化形式

（七）NS方程简化