树状数组

树状数组入门

树状数组 重点是在树状的数组

大家都知道二叉树吧

叶子结点代表A数组A[1]~A[8]

…

现在变形一下

现在定义每一列的顶端结点C[]数组

如下图

C[i]代表 子树的叶子结点的权值之和// 这里以求和举例

如图可以知道

C[1]=A[1];

C[2]=A[1]+A[2];

C[3]=A[3];

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

C[5]=A[5];

C[6]=A[5]+A[6];

C[7]=A[7];

C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

下面观察如下图

将C[]数组的结点序号转化为二进制

1=(001) C[1]=A[1];

2=(010) C[2]=A[1]+A[2];

3=(011) C[3]=A[3];

4=(100) C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

5=(101) C[5]=A[5];

6=(110) C[6]=A[5]+A[6];

7=(111) C[7]=A[7];

8=(1000) C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

对照式子可以发现 C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2k+2]+…A[i]; （k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度）例如i=8时，k=3;

可以自行带入验证;

现在引入lowbit(x)

lowbit(x) 其实就是取出x的最低位1 换言之 lowbit(x)=2^k k的含义与上面相同 理解一下

下面说代码

1. int lowbit(int t)
2. {
3. return t&(-t);
4. }
5. //-t 代表t的负数 计算机中负数使用对应的正数的补码来表示
6. //例如 :
7. // t=6（0110） 此时 k=1
8. //-t=-6=(1001+1)=(1010)
9. // t&(-t)=(0010)=2=2^1

C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2k+2]+…A[i];

C[i]= A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+…A[i];

*************************************************分割线

区间查询

ok 下面利用C[i]数组，求A数组中前i项的和

举个例子 i=7;

sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7] ; 前i项和

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]; C[6]=A[5]+A[6]; C[7]=A[7];

可以推出: sum[7]=C[4]+C[6]+C[7];

序号写为二进制: sum[(111)]=C[(100)]+C[(110)]+C[(111)];

再举个例子 i=5

sum[5]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5] ; 前i项和

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]; C[5]=A[5];

可以推出: sum[5]=C[4]+C[5];

序号写为二进制: sum[(101)]=C[(100)]+C[(101)];

细细观察二进制 树状数组追其根本就是二进制的应用

结合代码

1. int getsum(int x)
2. {
3. int ans=0;
4. for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
5. ans+=c[i];
6. return ans；
7. }

对于i=7 进行演示

​ 7(111) ans+=C[7]

lowbit(7)=001 7-lowbit(7)=6(110) ans+=C[6]

lowbit(6)=010 6-lowbit(6)=4(100) ans+=C[4]

lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000)

对于i=5 进行演示

​ 5(101) ans+=C[5]

lowbit(5)=001 5-lowbit(5)=4(100) ans+=C[4]

lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000)

*************************************************分割线

单点更新

当我们修改A[]数组中的某一个值时 应当如何更新C[]数组呢？

回想一下 区间查询的过程，再看一下上文中列出的图

结合代码分析

1. void add(int x,int y)
2. {
3. for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
4. c[i]+=y;
5. }
6. //可以发现 更新过程是查询过程的逆过程
7. //由叶子结点向上更新C[]数组

如图：

当更新A[1]时 需要向上更新C[1] ,C[2],C[4],C[8]

​ C[1], C[2], C[4], C[8]

写为二进制 C[(001)],C[(010)],C[(100)],C[(1000)]

​ 1(001) C[1]+=A[1]

lowbit(1)=001 1+lowbit(1)=2(010) C[2]+=A[1]

lowbit(2)=010 2+lowbit(2)=4(100) C[4] +=A[1]

(1000)]

​ 1(001) C[1]+=A[1]

lowbit(1)=001 1+lowbit(1)=2(010) C[2]+=A[1]

lowbit(2)=010 2+lowbit(2)=4(100) C[4] +=A[1]

lowbit(4)=100 4+lowbit(4)=8(1000) C[8] +=A[1]