P7418 [USACO21FEB] Counting Graphs P 题解

P7418 [USACO21FEB] Counting Graphs P

题目大意：

给定一张图，对于另一张合法的图，当且仅当两张图 $(u,v)$ 之间所有的路径长度相同。统计所有合法的图的数量。注意路径不一定是简单路径。

看到路径不一定是简单路径基本上就可以猜到做法了。因为是复杂路径一条边重复走是增加 $2$ 的贡献，所以只要任意两点之间最短奇偶路径相同即可。我们可以找出这样的路径。我们任意找一个起点，之后可以得到 $n$ 个数对。我们为了方便钦定 $(x,y),x<y$。

我们考虑一条边可以产生贡献而且是合法的是什么情况。对于一个 $(x,y)$ 来说之前的点对 $ + 1$ 必须保证 $x_1+1-x\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2),y$ 同理。然后我们不一定每一个点都要考虑，直接继承就好了。

所以总共有 $3$ 种点。

• (x - 1, y - 1)是 $A$ 类边，点个数为 $a$。
• (x - 1, y + 1)是 $B$ 类边，点个数为 $b$。
• (x + 1, y - 1)是 $C$ 类边，点个数为 $c$。
• (x, y)是当前的点对，点个数为 $d$。

我们发现如果链接了 $A$ 类边直接就合法了。如果不链接 $A$ 类边就必须同时连接 $B,C$ 类边。

我们发现对于当前点，然后对于其左下方的点本质上就是一个子状态。那么我们 $dp$ 的顺序就是让 $x+y$ 小的先 $dp$。不然就是让 $x$ 从小到大 $dp$。

因为需要考虑链接了几个 $B$ 类边。然后我们不可能对于一个点同时计算 $B,C$ 类边。这样就重复计算了。所以不妨钦定只计算 $B$ 类边。同时计算上一个状态的 $C$ 类边。

设 $f(a,b,x)$ 表示当前的点对是 $(a,b)$ 然后恰好还有 $x$ 个点需要链接 $C$ 类边。

之后我们发现进行 $dp$ 的时候需要考虑 $B$ 类边。我们预先设状态

$g(a,b,x)$ 表示对于点对 $(x,y)$ 恰好有 $x$ 个点不链接 $B$ 类边。

我们转移的时候考虑上面一个状态链接了几条边。
$$g(a,b,x)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{d}{x}\right)\sum _{y=0}^{d}f(a-1,b+1,y)\times F(b,y,d-x)$$
$F(a,b,c)$ 表示有集合 $a$ 和 $c$ 进行连边，要求 c c c</