二叉树

二叉树

在学习数据结构的时候，除了基本的之外的，还有许多树像是二叉搜索树，2-3树，红黑树等等。

也曾经学习过二叉树，以及前序排列中序排列后序排列等等，但是一直无缘使用它！

排序有快速排序，归并排序，查找有二分法，甚至直接遍历查找，二叉树的使用很少。那二叉树究竟是干什么的呢？

进行了一番粗浅的研究，我们学习的经典二叉树，仅仅当他是一种数据结构是不行的，他还是一种编程思想，例如解决背包问题（后面进行学习），在考试和面试中使用较多。

而实际场景使用上，用的最多的是二叉平衡树，有种特殊的二叉平衡树就是红黑树，Java集合中的TreeSet和TreeMap,C++STL中的set,map以及LInux虚拟内存的管理，都是通过红黑树去实现的，还有哈弗曼树编码方面的应用，以及B-Tree,B+-Tree在文件系统中的应用。当然二叉查找树可以用来查找和排序啦（知乎网友）

那么二叉树有什么优点？

大家看到最多的是这么说的，二叉排序树是一种比较有用的折中方案：

数组的搜索比较方便，可以直接使用下标，但删除或者插入就比较麻烦了，而链表与之相反，删除和插入都比较简单，但是查找很慢，这自然也与这两种数据结构的存储方式有关，数组是取一段相连的空间，而链表是每创建一个节点便取一个节点所需的空间，只是使用指针进行连接，空间上并不是连续的。而二叉树就既有链表的好处，又有数组的优点。

二叉树的分类，了解一下

• 满二叉树：从高到低，除了叶节点外，所有节点左右节点都存在。

• 完全二叉树：比满二叉树少几个叶节点，从左向右放子节点。

• 平衡二叉树：空树，或者它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树也都是平衡树。

• 二叉排序树：空树，或者二叉树的所有节点比他的左子节点大，比他的右子节点小。

• 红黑树：不仅是具有二叉搜索树的属性，还具有平衡树的属性，有序且子树差不超过1，颜色规则：根节点和特殊节点（即叶节点下面两个虚无的节点和未填写的节点）是黑的，红节点的左右子节点是黑的，最重要的是对于每个节点，从该节点到子孙叶节点的所有路径包含相同数目的黑节点。

二叉排序树

又称二叉排序树（Binary Sort Tree）、二叉查找树（Binary Search Tree）、二叉搜索树（Binary Search Tree）

1. 二叉排序树定义

空树，或者二叉树的所有节点比他的左子节点大，比他的右子节点小。

• 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
• 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
• 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

2. 二叉排序树查找过程

查找过程和次优二叉树类似。：折半查找的一种形式。若二叉排序树不空，首先将给定值和根节点的关键值进行比较，若相等，则查找成功；大于，继续在右子树查找；小于，在左子树查找。

代码：

// 利用递归算法实现二叉排序树的查找
// 找到，则返回该数据元素结点的指针，否则，返回空指针。
BinTree SearchBST(BinTree T, KeyType key)
{
    if((!T) || EQ(key, T->data.key) return(T); //空树，直接返回。非空树，等于根，返回。
    else if(LT(key, T->data.key)) return(SearchBST(T->lchild, key)); //小于根，继续在左子树查找
    else return(SearchBST(T->rchild, key)); //大于根，继续在右子树查找
}

3. 二叉排序树插入操作

与次优二叉树相对，二叉排序树是一种动态树表。即：树的结构通常不是一次生成的，而是在查找过程中，当树中不存在关键字等于给定值得结点时在进行插入（找不到时再插入）。

注意：每次插入的新结点，都是树的叶子结点。所以插入时不必移动其他结点，只改变指针由空变为非空即可。

为此，对上节中的算法进行改进，如果找不到该关键值的结点，就返回查找路径上访问的最后一个结点的左孩子或右孩子，用于插入。

代码：

// 查找根指针为 T 的树上存不存在关键值为 key 的结点。f 为 T 的双亲。
// 成功，返回 TRUE，并 p 指向该结点。
// 失败，返回 FALSE， 并 p 指向查找路径上访问的最后一个结点
Status SearchBST(BinTree T, KeyType key, BinTree f, BinTree &p)
{
    if(!T)  { p = f; return FALSE; }//空树，直接返回。
    else if(EQ(key, T->data.key)) { p = T; return TRUE; } //非空树，等于根，返回。
    else if(LT(key, T->data.key)) return(SearchBST(T->lchild, key, T, p)); //小于根，继续在左子树查找
    else return(SearchBST(T->rchild, key, T, p)); //大于根，继续在右子树查找
}

插入算法代码：

// 若根指针为 T 的树上不存在关键值为 e.key 的结点，就插入，并返回TRUE
// 若存在，就返回FALSE
Status InsertBST(BinTree T, ElemType e)
{
    BinTree p;
    BinTNode *s;
    if(!SearchBST(T, e.key, NULL, p))
    {
        s = (BinTNode *)malloc(sizeof(BinTNode));
        s->data = e;
        s->lchild = NULL;
        s->rchild = NULL;
        if(!p) // 空树
            T = &s;
        else if(LT(key, p->lchild)) 
            T->lchild = &s;
        else 
            T->rchild = &s;
        free(s);
        return TRUE; // 插入成功
    }
    else 
        return FALSE; // 找到了， 插入失败
}

注意：中序遍历二叉搜索树可得到一个关键字的有序序列。也就是说，一个无序序列可以通过构造一颗二叉排序树而变成一个有序序列。
采用链表作为存储结构，是动态查找表。

4、二叉排序树删除操作

删除 *p 结点， 分 3 种情况讨论（不失一般性，假设 *p 是 *f 的左孩子）：

• *p 是叶子结点：直接删除，改变 *f 的指针即可。
• *p 只有左子树或只有右子树：将该左子树（或右子树）改为 *f 的左子树即可。
• *p 的左子树和右子树均不为空：比较复杂，2 种解决方法：
  
  1. 令 *p 的左子树为 *f 的左子树， 然后 *p 的右子树为 *p 最右边结点的右子树。
  2. 令 *p 的直接前驱（ *p 的左子树的最右边结点）直接代替 *p，再删除该直接前驱

代码：

Status Delete(BinTree &p)
{   
    BinTree q; //备份
    if(!p->rchild) // 右子树为空，只需要重接左子树；左右均空，可以放在这里面
    {
        q = p;
        p = p->lchild;
        free(q);
    } 
    else if(!p->lchild) // 左子树为空，只需重接右子树
    {
        q = p;
        p = p->rchild;
        free(q);
    }
    else //左右子树都非空
    {
        // 方法1：（p是f的左孩子）
        // 先将p的右子树接在左子树的最右端
        BinTree s = p->lchild; 
        while(s->rchild) {q = s; s = s->rchild};
        q->rchild = p->rchild;
        // 然后*p的左子树作为f的左子树
        q = p;
        p = p->lchild;
        free(q);

        // 方法2：
        // 首先找到直接前驱
        q = p;
        BinTree s = p->lchild;
        while(s->rchild) {q = s; s = s->rchild}; // s指向直接前驱
        p->data = s->data;
        // 若p即为s的父节点，则p的左孩子就是s的左孩子，否则，s的父节点的右孩子指向s的左孩子
        if(q!=p) q->rchild = s->lchild;
        else q->lchild = s->lchild; 
        // 删除s
        delete s;
    }
}