HDU——饭卡【简单dp】

本文探讨了如何在食堂消费中利用特定的支付规则,通过01背包算法优化饭卡余额,达到余额最少的目标。文章提供了算法实现思路及AC代码示例。

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【思考】:

就是有一张饭卡,你要把饭卡的钱变得最少,每样菜只能买一次,那么怎么用才是最少的呢?当然是先减去5块钱,剩下的钱你尽量用,然后再用你买剩的钱加上之前的五块,再买最贵的那一份菜,这样就是最少的,有没有一种01背包的感觉,快动手试试吧!

电子科大本部食堂的饭卡有一种很诡异的设计,即在购买之前判断余额。如果购买一个商品之前,卡上的剩余金额大于或等于5元,就一定可以购买成功(即使购买后卡上余额为负),否则无法购买(即使金额足够)。所以大家都希望尽量使卡上的余额最少。 
某天,食堂中有n种菜出售,每种菜可购买一次。已知每种菜的价格以及卡上的余额,问最少可使卡上的余额为多少。 

Input

多组数据。对于每组数据: 
第一行为正整数n,表示菜的数量。n<=1000。 
第二行包括n个正整数,表示每种菜的价格。价格不超过50。 
第三行包括一个正整数m,表示卡上的余额。m<=1000。 

n=0表示数据结束。 

Output

对于每组输入,输出一行,包含一个整数,表示卡上可能的最小余额。

Sample Input

1
50
5
10
1 2 3 2 1 1 2 3 2 1
50
0

Sample Output

-45
32

ac代码:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1e3+10;
int dp[maxn],a[maxn];
int n,m;
int main()
{
	while(scanf("%d",&n)&&n)
	{
		for(int i=0;i<n;i++)
			scanf("%d",&a[i]);
		scanf("%d",&m);
		if(m<5)
		{
			printf("%d\n",m);
			continue;
		}
		sort(a,a+n);
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		dp[0]=0;
		for(int i=0;i<n-1;i++)
			for(int j=m-5;j>=a[i];j--)
			{
				dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[i]]+a[i]);
			}
		int ans=m-dp[m-5]-a[n-1];
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

 

### HDU OJ Problem 2566 Coin Counting Solution Using Simple Enumeration and Generating Function Algorithm #### 使用简单枚举求解硬币计数问题 对于简单的枚举方法,可以通过遍历所有可能的组合方式来计算给定面额下的不同硬币组合数量。这种方法虽然直观但效率较低,在处理较大数值时性能不佳。 ```java import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner scanner = new Scanner(System.in); int[] coins = {1, 2, 5}; // 定义可用的硬币种类 while (scanner.hasNext()) { int targetAmount = scanner.nextInt(); int countWays = findNumberOfCombinations(targetAmount, coins); System.out.println(countWays); } } private static int findNumberOfCombinations(int amount, int[] denominations) { if (amount == 0) return 1; if (amount < 0 || denominations.length == 0) return 0; // 不使用当前面值的情况 int excludeCurrentDenomination = findNumberOfCombinations(amount, subArray(denominations)); // 使用当前面值的情况 int includeCurrentDenomination = findNumberOfCombinations(amount - denominations[0], denominations); return excludeCurrentDenomination + includeCurrentDenomination; } private static int[] subArray(int[] array) { if (array.length <= 1) return new int[]{}; return java.util.Arrays.copyOfRange(array, 1, array.length); } } ``` 此代码实现了通过递归来穷尽每一种可能性并累加结果的方式找到满足条件的不同组合数目[^2]。 #### 利用母函数解决硬币计数问题 根据定义,可以将离散序列中的每一个元素映射到幂级数的一个项上,并利用这些多项式的乘积表示不同的组合情况。具体来说: 设 \( f(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}{a_i*x^i}\),其中\( a_i \)代表当总金额为 i 时能够组成的方案总数,则有如下表达式: \[f_1(x)=(1+x+x^2+...)\] 这实际上是一个几何级数,其封闭形式可写作: \[f_1(x)=\frac{1}{(1-x)}\] 同理,对于其他类型的硬币也存在类似的生成函数。因此整个系统的生成函数就是各个单独部分之积: \[F(x)=f_1(x)*f_2(x)...*f_n(x)\] 最终目标是从 F(x) 中提取系数即得到所需的结果。下面给出基于上述理论的具体实现: ```cpp #include<iostream> using namespace std; const int MAXN = 1e4 + 5; int dp[MAXN]; void solve() { memset(dp, 0, sizeof(dp)); dp[0] = 1; // 初始化基础状态 int values[] = {1, 2, 5}, size = 3; for (int j = 0; j < size; ++j){ for (int k = values[j]; k <= 10000; ++k){ dp[k] += dp[k-values[j]]; } } } int main(){ solve(); int T; cin >> T; while(T--){ int n; cin>>n; cout<<dp[n]<<endl; } return 0; } ``` 这段 C++ 程序展示了如何应用动态规划技巧以及生成函数的概念高效地解决问题实例[^1]。
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