动态规划--最长公共子序列

最新推荐文章于 2022-09-15 22:07:29 发布

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本文介绍了一种寻找两字符串最长公共子序列的有效算法，并详细解释了递归分解过程及其实现方式。通过一个具体示例展示了算法的具体步骤，包括如何使用二维数组存储中间结果以减少重复计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x₀，x₁，…，x_m-1”，序列Y=“y₀，y₁，…，y_k-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i₀，i₁，…，i_k-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有x_ij=y_j。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a₀，a₁，…，a_m-1”，B=“b₀，b₁，…，b_m-1”，并Z=“z₀，z₁，…，z_k-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1）如果a_m-1=b_n-1，则z_k-1=a_m-1=b_n-1，且“z₀，z₁，…，z_k-2”是“a₀，a₁，…，a_m-2”和“b₀，b₁，…，b_n-2”的一个最长公共子序列；

（2）如果a_m-1!=b_n-1，则若z_k-1!=a_m-1，蕴涵“z₀，z₁，…，z_k-1”是“a₀，a₁，…，a_m-2”和“b₀，b₁，…，b_n-1”的一个最长公共子序列；

（3）如果a_m-1!=b_n-1，则若z_k-1!=b_n-1，蕴涵“z₀，z₁，…，z_k-1”是“a₀，a₁，…，a_m-1”和“b₀，b₁，…，b_n-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有a_m-1=b_n-1，则进一步解决一个子问题，找“a₀，a₁，…，a_m-2”和“b₀，b₁，…，b_m-2”的一个最长公共子序列；如果a_m-1!=b_n-1，则要解决两个子问题，找出“a₀，a₁，…，a_m-2”和“b₀，b₁，…，b_n-1”的一个最长公共子序列和找出“a₀，a₁，…，a_m-1”和“b₀，b₁，…，b_n-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

求解：

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

问题的递归式写成：

recursive formula

回溯输出最长公共子序列过程：

flow

算法分析：
1.时间复杂度：计算c和b的时间复杂度为O(mn)，构造构造最优解的时间复杂度为O(m+n)，所以总的时间复杂度为O(mn)。

2.空间复杂度：由于要计算c和b，所以总的空间复杂度为O(mn)。

代码（C++）：

// lcs.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//

#include "stdafx.h"
#include<iostream>
using namespace std;

#include"string.h"

#define X_LENGTH 7
#define Y_LENGTH 6

int c[X_LENGTH+1][Y_LENGTH+1],b[X_LENGTH+1][Y_LENGTH+1];
void lcs(string x,string y);
void print(string x,int m,int n);

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	string x="ABCBDAB";
	string y="BDCAB";

	cout<<"LCS(X,Y)={";
	lcs(x,y);
	print(x,X_LENGTH,Y_LENGTH);
	cout<<"}"<<endl;
	
	return 0;
}
void lcs(string x,string y)
{
	int m=X_LENGTH;
	int n=Y_LENGTH;
	int i,j;
	for(i=0;i<=X_LENGTH;i++)
		c[i][0]=0;
	for (j = 0; j <= Y_LENGTH; j++)
		c[0][j]=0;
	for (i = 1; i <= m; i++)
	{
		for ( j = 1; j <= n; j++)
		{
			if (x[i-1]==y[j-1])
			{
				c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
				b[i][j]=1;//斜上方
			}
			else 
			{
				if (c[i-1][j]>=c[i][j-1])
				{
					c[i][j]=c[i-1][j];
					b[i][j]=2;//↑
				}
				else
				{
					c[i][j]=c[i][j-1];
					b[i][j]=3;//←
				}
			}
		}
	}
}
void print(string x,int m,int n)
{
	if(m==0 || n==0) return;
	if(b[m][n]==1)
	{
		print(x,m-1,n-1);
		cout<<x[m-1]<<",";
	}
	else if (b[m][n]==2)
	{
		print(x,m-1,n);
	}
	else
		print(x,m,n-1);
}