Hopefield神经网络

0 HNN起源

1982年，J．Hopfield提出了可用作联想存储器的互连网络，这个网络称为Hopfield网络模型，也称Hopfield模型。Hopfield神经网络模型是一种循环神经网络，从输出到输入有反馈连接。

1 HNN简介

神经网络根据运行过程中的信息流向，可分为前馈式和反馈式两种基本类型。前馈网络的输出仅由当前输入和权重矩阵决定，而与网络先前的输出状态无关，反馈网络会将输出再次作为输入的一部分输入到网络中，Hopfield 网络被认为是一种最典型的全反馈网络。

Hopfield 网络可以看成一种非线性的动力学系统。反馈网络能够表现出非线性动力学系统的动态特性。它所具有的主要特性为以下两点：

• 网络系统具有若干个稳定状态，对应了能量函数的局部最小值，当网络从某一初始状态开始运动，网络系统总可以收敛到某一个稳定的平衡状态；
• 系统稳定的平衡状态可以通过设计网络的权值而被存储到网络中；

反馈型神经网络作为非线性动态系统，表现出丰富多样的动态特性，比如稳定性、极限环、奇怪吸引子等等。
非线性系统演变的形式有以下几种：

• 渐进稳定
• 极限环
• 混沌现象
• 状态轨迹发散

经过特殊设计的能量函数，可以使得，从任意状态开始，系统的演变都会使得能量函数单调减少，从而最后稳定到最小值，下面会证明这个定理。网络的稳定性是Hopefield网络的重要性质，而能量函数是判定网络稳定性的基本概念。

可以参考马尔科夫链及其平稳分布，说的是任一个马尔科夫链，如果其转移矩阵$P$固定，那么不管其初始分布是什么状态，经过若干次迭代之后，都会收敛于一个平稳分布$p(x)$。马尔科夫链及其平稳分布是MCMC系列采样方法的理论基础。

有了能量函数，我们就有了每一个状态所对应的能量值，我们可以用这个能量值的大小来定义每一个状态发生的概率，即状态的概率分布函数。

根据神经元输出的值的范围，Hopefield网络又分为离散型和连续性，分别记为DHNN和CHNN，DHNN主要用于联想记忆，CHNN主要用于优化计算。

2 DHNN结构

首先考虑由三个神经元组成的离散Hopfield神经网络，其结构如下图所示：

在图中，第0层仅仅是作为网络的输入，它不是实际神经元，所以无计算功能；而第一层是实际神经元，故而执行对输人信息和权系数乘积求累加和，并由非线性函数$f$处理后产生输出信息。$f$是一个简单的阈值函效，如果神经元的输出信息大于阈值$\theta$，那么，神经元的输出就取值为1；小于阈值$\theta$，则神经元的输出就取值为0。

对于二值神经元，它的计算公式如下：
$$U_j=\sum _i{W}_{ij}\ast Y_i+X_j$$
其中，$X_i$为外部输入，并且有：
$$Y_j=\{\begin{array}{l}1,if{U}_j\ge \theta \\ 0,if{U}_j<\theta \end{array}$$

对于一个离散的Hopefield网络，其网络状态是输出神经元信息的集合，对于一个输出层是$n$个神经元的网络，其在时刻$t$的状态为一个$n$维向量：
$$Y(t)=[Y_1(t),Y_2(t),...,Y_n(t)]$$
因为每个输出神经元都是二值神经元，故而一共有$2^n$种状态，即是网络状态。该网络有$n\ast n$权重系数矩阵 W W