26、椭圆曲线密码学与伪随机数生成器

椭圆曲线密码学与伪随机数生成器

椭圆曲线密码学的变体

椭圆曲线能形成群，这些群可像其他代数群一样使用，这意味着各种算法可适配椭圆曲线群。椭圆曲线密码学有多种变体，常见的有：
- 椭圆曲线迪菲 - 赫尔曼（ECDH）：用于密钥交换。
- 椭圆曲线数字签名算法（ECDSA）。
- 椭圆曲线 MQV 密钥协商协议。
- 椭圆曲线集成加密方案（ECIES）。

下面详细介绍 ECDH 和 ECDSA。

椭圆曲线迪菲 - 赫尔曼（ECDH）

迪菲 - 赫尔曼是最古老的密钥交换协议，将其修改应用于椭圆曲线就得到了 ECDH。ECDH 是一种在不安全介质上建立共享密钥的协议，共享密钥可直接使用或作为派生其他密钥的基础。在 ECDH 中，公私钥对基于椭圆曲线。
- 公钥：椭圆曲线和曲线上的点 (x, y)。
- 私钥：Alice 的 A 和 Bob 的 B。
- Alice 计算 A(B(x, y))。
- Bob 计算 B(A(x, y))。
由于 AB = BA，所以二者计算结果相同。

例如：
- 公钥：曲线 $y^2 = x^3 + 7x + b \pmod{37}$ 和点 (2, 5)，可推出 $b = 3$。
- Alice 的私钥：$A = 4$。
- Bob 的私钥：$B = 7$。
- Alice 发送给 Bob：$4(2, 5) = (7, 32)$。
- Bob 发送给 Alice：$7(2, 5) = (18, 35)$。
- Alice 计算：$4(18, 35) = (22, 1)$。