23、周期性与循环移位算法及图的树 t - 跨距问题研究

周期性与循环移位算法及图的树 t - 跨距问题研究

1 周期性检测算法

1.1 基本计算与更新

在处理周期性检测时，定义了两个关键的计算项 (T_1) 和 (T_2)。
- (T_1 = \sum_{0\leq i\leq d,0\leq j<p} x_jy_iA_{ij})
- (T_2 = \sum_{0\leq j<p} x_jb_j)

由于 (\sum_{0\leq i\leq d} y_i) 可以在预处理阶段计算得出，所以后续只需要计算 (T_1) 和 (T_2)。初始时，将 (T_1) 和 (T_2) 都设为 0。当读取数据流时，按照以下规则在 (O(1)) 时间内更新 (T_1) 和 (T_2)：当 (a) 的第 ((ip + j)) 个元素增加 (\Delta) 时，
- (T_1 += (x_jy_i + I[j \geq r]x_jy_d)\Delta)
- (T_2 += (I[j < r] \frac{x_j}{d + 1} + I[j \geq r]\frac{x_j}{d})\Delta)

其中 (r = n \bmod p)，(I) 是指示函数。

1.2 无噪声情况下的周期性检测

对于完全周期性的序列（即周期能整除序列长度），检测未知周期的一种可能方法是使用上述算法测试所有能整除 (n) 的因子 (p)，并返回使 (D_p(a) = 0) 的最小 (p) 值（此时可将 (\epsilon) 设为 1）。但在最坏情况下，(n) 可能有 (d(n) = O (\exp(\log n / \log \log n))) 个因子，这会消