08关系数据库的设计

关系数据库设计

设计选择

• 更大的模式
  
  • 冗余
  • 插入限制
• 更小的模式
  
  • 有的联系无法表示

合法实例

一个关系的满足所有这种现实世界约束的实例

超码

令$r(R)$是一个关系模式。$R$的子集$K$是$r(R)$的超码的条件是：在关系$r(R)$的任意合法实例中，对于$r$的实例中的所有元组对$t_1$和$t_2$总满足，若$t_1 \neq t_2$，则$t_1[K] \neq t_2[K]$。

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表达数据库一致性约束的方式

• 主码约束
• 函数依赖
• check约束
• 断言
• 触发器

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依赖

函数依赖

令$r(R)$是一个关系模式，$\alpha, \beta \in R$。给定$r(R)$的一个实例，我们说这个实例满足函数依赖$\alpha \rightarrow \beta$的条件是：对于$r$的实例中的所有元组对$t_1$和$t_2$总满足，若$t_1[\alpha ]=t_2[\alpha]$，则$t_1[\beta ]=t_2[\beta ]$
- 如果在$r(R)$的每个合法实例中都满足函数依赖$\alpha \rightarrow \beta$，则函数依赖在模式$r(R)$上成立
- 如果函数依赖$K \rightarrow R$，则$K$是$r(R)$的一个超码
- 有些函数依赖称为平凡的，因为它们在所有关系中都满足。一般地，如果，$\beta \in \alpha$，则形如$\alpha \rightarrow \beta$的函数依赖是平凡的

多值依赖

令$r(R)$为一关系模式，多值依赖$\alpha \rightarrow \rightarrow \beta$在R上成立的条件是，在$r(R)$任意合法实例中，对于$r$中任意一对满足$t_1[\alpha ]=t_2[\alpha]$ 的元组对$t_1$和$t_2$，$r$中都存在元组$t_3$和$t_4$，使得
- t_1[$\alpha$]=t_2[$\alpha$]=t_3[$\alpha$]=t_4[$\alpha$]
- t_1[$\beta$] = t_3[$\beta$]
- t_3[R – $\alpha$–$\beta$] = t_2[R– $\alpha$ –$\beta$]
- t_2[$\beta$] = t_4[$\beta$]
- t_4[R – $\alpha$–$\beta$] = t_1[R– $\alpha$ –$\beta$]
由多值依赖的定义，可以得到
- 若$\alpha \rightarrow \beta$，则$\alpha \rightarrow \rightarrow \beta$
- 若$\alpha \rightarrow \rightarrow \beta$，则$\alpha \rightarrow \rightarrow R - \beta - \alpha$

保持依赖

令$F$为$R$上的一个函数依赖集，$R_1, R_2, …, R_n$是$R$的一个分解，$F$在$R_i$上的限定是$F^+$中所有只包含$R_i$中属性的函数依赖的集合$F_i$
令$F' ＝ F_1 \cup F_2 \cup..F_n$，如果$F^{'+} = F^+$，则分解为保持依赖的

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闭包

Armstrong公理

• 自反律：如果$\beta \in \alpha$，那么$\alpha \rightarrow \beta$
• 增补律：如果$\alpha \rightarrow\beta$,那么$\gamma\alpha \rightarrow \gamma\beta$
• 传递律：如果$\alpha \rightarrow\beta$,并且$\beta \rightarrow\gamma$，那么$\alpha \rightarrow \gamma$

推论

• 合并律：如果$\alpha \rightarrow\beta$并且$\alpha \rightarrow\gamma$，那么$\alpha \rightarrow\beta \gamma$
• 分解律：如果$\alpha \rightarrow\beta \gamma$，那么$\alpha \rightarrow\beta$并且$\alpha \rightarrow\gamma$
• 伪传递律：如果$\alpha \rightarrow\beta$并且$\gamma\beta \rightarrow\delta$，那么$\alpha \gamma\rightarrow\delta$

函数依赖集的闭包

令$F$为一个函数依赖集，$F$的闭包时被$F$逻辑蕴涵的所有函数依赖的集合，记作$F^+$

属性集的闭包

将函数依赖集$F$下被$\alpha$函数确定的所有属性的集合称为$F$下$\alpha$的闭包，记作$\alpha ^+$
计算方法
- 初始$\alpha ^+ ＝ \alpha$
- 对于每一个函数依赖$\beta \rightarrow \gamma$ ，如果$\beta \in \alpha ^+$，将$\gamma$加入$\alpha ^+$

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覆盖

无关属性

考虑函数依赖集$F$及$F$中函数依赖$\alpha \rightarrow\beta$
- 如果$A \in \alpha$并且$F$逻辑蕴涵$(F-\{ \alpha \rightarrow \beta \} ) \cup \{(\alpha -A) \rightarrow \beta\}$，则$A$在$\alpha$中是无关的
- 令$\gamma =\alpha -A$，计算$F$下$\gamma ^+$，如果$\gamma ^+$包含$\beta$的所有属性，则$A$在$\alpha$中是无关的
- 如果$A \in \beta$并且$(F-\{ \alpha \rightarrow\beta \}) \cup \{\alpha \rightarrow (\beta -A)\}$逻辑蕴涵$F$，则$A$在$\beta$ 中是是无关的
- 计算$(F-\{ \alpha \rightarrow \beta \}) \cup \{\alpha \rightarrow (\beta -A)\}$下$\alpha ^+$，如果$\alpha ^+$包含$A$，则$A$在$\beta$中是无关的

正则覆盖

$F$的正则覆盖$F_c$是一个依赖集，使得$F$逻辑蕴涵$F_c$的所有依赖，并且$F_c$逻辑蕴涵$F$的所有依赖，此外，$F_c$具有如下性质
- $F_c$中任何函数依赖都不含无关属性
- $F_c$中函数依赖的左半部都是唯一的，即$F_c$不存在两个依赖$\alpha _1 \rightarrow \beta _1$和$\alpha _2 \rightarrow \beta _2$，满足$\alpha _1 =\alpha _2$

计算方法

• 使用合并律将$\alpha _1 \rightarrow\beta _1$和$\alpha _1 \rightarrow\beta _2$替换成$\alpha _1 \rightarrow\beta _1\beta _2$
• 将含有无关属性的函数依赖删去

最小覆盖

如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为最小函数依赖集或最小覆盖
- F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性；
- F中不存在这样一个函数依赖$X\rightarrow A$，使得$F$与$F-\{X \rightarrow A\}$等价；
- F中不存在这样一个函数依赖$X\rightarrow A$，$X$有真子集$Z$使得$F-\{X \rightarrow A\} \cup \{Z \rightarrow A\}$与$F$等价。

求解最小函数依赖集分三步

• 将$F$中的所有依赖右边化为单一元素
  • 去掉$F$中的所有依赖左边的冗余属性
  • 去掉$F$中所有冗余依赖关系

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  分解

  • 无损分解:令$R_1$和$R_2$为$R$的分解，如果用$r(R_1)$和$r(R_2)$代替$r(R)$时没有信息损失，即把$r$投影到$R_1$和$R_2$上，然后计算投影结果的自然连接，仍然得到一模一样的$r$
  • 有损分解

  分解的目标

  1. 确定一个偏序关系$R$是不是好的形式
  2. 如果不是，把它分解为关系集$\{R_1, R_2, …, R_n\}$，每一个$R_i$都是好的形式，并且分解是无损的
  3. 理论基础：函数依赖，多值依赖

  4. 第一范式

     如果R的所有属性的域都是原子的
     - 原因
     - 非原子会使存储复杂，数据冗余

     BCNF范式

     对$F^+$中所有形如$\alpha \rightarrow \beta$的函数依赖，下面至少有一项成立
     - $\alpha \rightarrow \beta$是平凡的函数依赖（即$\beta \in \alpha$）
     - $\alpha$是模式$R$的一个超码

     设$R$不属于BCNF的一个模式，则存在至少一个非平凡的函数依赖$\alpha \rightarrow \beta$，其中$\alpha$不是$R$的超码，则可以用$\alpha \cup \beta$和$R-(\beta -\alpha )$取代$R$
     无损分解，可能不是保持依赖的

     第二范式

     如果关系$R$属于$NF，且每一个非主码完全函数依赖于码，则关系$R$属于第二范式

     第三范式

     对$F^+$中所有形如$\alpha \rightarrow \beta$的函数依赖，下面至少有一项成立
     - $\alpha \rightarrow \beta$是平凡的函数依赖（即$\beta \in \alpha$）
     -$\alpha$是模式$R$的一个超码
     - $\beta -\alpha$中的每个属性$A$都包含于$R$的任意一个候选码中

     第三范式是BCNF的最小放宽
     无损分解，保持依赖，可能用空值表示数据联系

     第四范式

     $D$是函数依赖和多值依赖集，对所有$D^+$中所有形如$\alpha \rightarrow \rightarrow \beta$的多值依赖，至少以下一个成立
     - $\alpha \rightarrow \rightarrow \beta$是一个平凡的多值依赖
     - $\alpha$是R的一个超码

     各种范式之间的联系

     $5NF \subset 4NF \subset BCNF \subset 3NF \subset 2NF \subset 1NF$
     

     常见分解

     • 无损分解为BCNF模式集
       
       • 初始为$\{R\}$
       • 对于$F$中每一个非平凡函数依赖$X \rightarrow Y$，$X$不包含超码，就把$R$分解为$\{R-Y, XY\}$
     • 无损分解为3NF模式集