tarjan算法

最新推荐文章于 2024-11-03 09:17:28 发布

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分类专栏：强连通分量文章标签：算法 tarjan

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一、tarjan求有向图强连通分量

这是tarjan算法应用最简单的一个方面了。
对于什么都不会的萌新，先介绍一下各个概念。
强连通：在一个有向图中，对于两个点i, j，如果存在路从i通向j，存在路从j通向i，那么称这两个点强连通。
如果一个图中任意两个点强连通，那么称这个图为强连通图。
一个图的极大子图满足强连通，那么称这个子图为强连通分量。

那么问题来了，我们怎么理解强连通分量呢？
其实，你可以找出一个环，这个环里的所有的点就组成了一个强连通分量。
这里写图片描述
比如这个图，在这个环2->3->4->2中，任意两个点能互相到达，那么2、3 、4就组成了这个图的一个强连通分量
注意：一个点也是强连通分量
所以，这个图的所有强连通分量就是：
set1: 1
set2: 2 3 4
set3: 5
共有三个强连通分量。

好的，回到正题，tarjan算法其实就是一个DFS的过程，现在，我们开一个数组，记录下我们遍历这个图的顺序。一般这个数组都叫DFN。
如果从1开始DFS，那么，我们把遍历的顺序写成一个DFS树是这样的（如果从其他点开始，DFN数组会不一样，但是结果是一样的），如图：
这里写图片描述
现在DFN数组里的状态为：
DFN[1] = 1, DFN[2] = 2, DFN[3] = 3, DFN[4] = 4, DFN[5] = 5.
代表了遍历的顺序。

很明显，图中是有一条回路的，这条回路在哪呢？
这里写图片描述
我们可以看到，在DFS树中，只要一个节点指向了他的一个父节点，那么肯定形成了回路，从起点到终点内包含的点组成了一个强连通分量。
现在的问题是，怎么找到有没有这样往回指的边，而且要找到这个回路的包含的点。
现在我们再来一个数组，一般叫low, low[i]表示i号节点能向上指的的节点中有最小DFN的那个节点的DFN值，在上面那个图中，low[4] = 2。
那么三号节点呢？因为3号可以通过3->4->2指向2号节点，所以low[3] = 2。

注意：low的值不是节点的编号，而是那个节点的DFN值，在上面的那个情况中只是恰好i号节点的DFN值就是i。
也就是说，所有拥有相同low值的节点，在同一个强连通分量中，我们只要找出有相同low值的点组成的集合就可以了。

怎么找呢？
我们建一个栈，按照DFS的顺序把数push进栈里，只要在求完DFN和LOW数组后，在递归的过程中，碰见一个点i, 它的LOW[i] == DFN[i],那么就从栈里pop出数，直到pop出i，这些数就是low为DFN[i]的一个集合。
具体见图：
这里写图片描述
先看左图，遍历到4号的时候，发现碰见了2，能指回去，那么在递归的过程中就把low[3],和low[4] 都赋值为了2（DFN[2] = 2)，然后后退到了2号节点，此时发现low[2] == dfn[2]，此时开始pop，low[2]，low[3], low[4]都是2，把4,3,2都pop出来，那么2,3,4就是一个强连通分量
用栈pop的过程,其实就是一个寻找相同low值的过程,这个过程比较难理解些,最好出个数据模拟,自己多思考些.

求割点和桥

还是先给概念:
割点:去掉某个点后,一个连通图被分解成两个不能互相到达的图,那么这个点就称为割点
桥(割边):去掉某条边后,一个连通图被分解成两个不能互相到达的图,那么这条边就成为桥
PS:割点和桥是无向图里的概念,所以下面提到的图是无向图.

这里写图片描述
假如这是一颗DFS树(即上面的DFN数组,虽然是无向图,但也有它的DFN数组)

桥:

如果一条边(u->v)是桥,那么下面的那个点能往上翻的最高的点,不能到达或超过上面的那个点

以上图(2->3)这条边为例,DFN[2] = 2, LOW[3] = 3,点3再怎么往上翻,也不能到达2或者2以上,那么,2->3就是一个桥
再看(3->4),DFN[3] = 3, Low[4] = 3,此时,下边的点4能往上翻到点3,也就是到达了点3,此时,(3,4)两个点有两条通路,(3->4), (3->5->4),也就不是桥

也就是:对于相邻的两个点u,v,若DFN[u] < Low[v],则有边(u->v)是桥.