由三边求三角形面积

三角形ABC，ABC三点对应三条边长分别为abc。AD为BC边上的高，$h_a$为AD的长度。设BD长度为x，CD长度为y。则：
$y = a - x$
$h_a^2 = c^2 - x^2$
$y^2 = b^2 - h_a^2$
于是由以上三式得出：
$(a-x)^2 + c^2-x^2 = b^2$
解方程得：
$x = \sqrt{\frac {a^2+c^2-b^2}{2a}}$
于是求得$h_a$：
$h_a = \sqrt{c^2-x^2} = \frac 1 {2a} \sqrt {(a+b+c)(a+c-b)(a+b-c)(b+c-a)}$

设 $p = \frac 1 2 (a+b+c)$，由$S = \frac 1 2 a h_a$ 得

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

具体推导如下