bzoj3561 DZY Loves Math VI

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不妨设 $n\le m$ 。

= = \sum i = 1 n \sum j = 1 m lcm (i, j) gcd (i, j) \sum d = 1 n \sum i = 1 ⌊ n d ⌋ \sum j = 1 ⌊ m d ⌋ (i j d) d e (gcd (i, j)) \sum d = 1 n d d \sum x = 1 ⌊ n d ⌋ μ (x) x 2 d \sum i = 1 ⌊ n d x ⌋ \sum j = 1 ⌊ m d x ⌋ i d j d

$\begin{align} & \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \text{lcm}(i,j)^{\gcd(i,j)} \\ = & \sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n d\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac m d\rfloor} (ijd)^de(\gcd(i,j)) \\ = & \sum_{d=1}^n d^d\sum_{x=1}^{\lfloor\frac n d\rfloor} \mu(x)x^{2d}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n{dx}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac m{dx}\rfloor} i^d j^d \\ \end{align}$
在枚举

d $d$ 的同时顺便维护

∑⌊nd⌋i=1id $\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}i^d$ ，可以做到

O(nlogn) $O(n\log n)$ 。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
const int maxn=500010,p=1000000007;
int mu[maxn],prm[maxn],vis[maxn],pw[maxn],sum[maxn],
n,m,tot;
int inc(int x,int y)
{
    x+=y;
    return x>=p?x-p:x;
}
int dec(int x,int y)
{
    x-=y;
    return x<0?x+p:x;
}
int pow(int b,int k)
{
    int ret=1;
    for (;k;k>>=1,b=(LL)b*b%p)
        if (k&1) ret=(LL)ret*b%p;
    return ret;
}
int main()
{
    int ans=0,tem;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    //m=n=500000;
    if (n>m) swap(n,m);
    mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!vis[i])
        {
            mu[i]=p-1;
            prm[++tot]=i;
        }
        for (int j=1;j<=tot&&(LL)i*prm[j]<=maxn;j++)
        {
            vis[i*prm[j]]=1;
            if (i%prm[j]) mu[i*prm[j]]=dec(0,mu[i]);
            else
            {
                mu[i*prm[j]]=0;
                break;
            }
        }
    }
    for (int i=1;i<=m;i++) pw[i]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (int j=1;j<=m/i;j++)
        {
            pw[j]=(LL)pw[j]*j%p;
            sum[j]=inc(sum[j-1],pw[j]);
        }
        tem=0;
        for (int j=1;j<=n/i;j++)
            tem=inc(tem,(LL)mu[j]*pw[j]%p*pw[j]%p*sum[n/i/j]%p*sum[m/i/j]%p);
        ans=inc(ans,(LL)pow(i,i)*tem%p);
    }
    printf("%d\n",ans);
}