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最新推荐文章于 2021-11-27 22:21:31 发布

sdfzyhx

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分类专栏：数学 UVa

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本文介绍了一种通过二分法求解给定宽度和长度的抛物线高度的方法，并给出了具体的C++实现代码。利用自适应辛普森法进行数值积分计算，实现了对抛物线弧长的有效估算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题稍作简化就可以看成已知一条抛物线的宽度和长度，求它的高度。
这个问题并不好求，但是如果已知高度和宽度，求抛物线的长度就是一个很简单的积分了。因此我们可以二分答案。
设宽度为 $w$ ，高度为 $h$ ，那么抛物线可以写成 $y=\frac{4h}{w^2}x^2$ ，长度是 $\int_{-w/2}^{w/2}\sqrt{1+f'(x)^2}dx=\int_{-w/2}^{w/2}\sqrt{\frac{64h^2}{w^4}x^2+1}dx$ 。用自适应辛普森法求解就可以了。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const double eps=1e-6;
int D,H,B,L;
double w,a;
double F(double x)
{
    return sqrt(a*x*x+1);
}
double get(double l,double r)
{
    double mid=(l+r)/2;
    return (r-l)*(F(l)+F(r)+4*F(mid))/6;
}
double sim(double l,double r,double val)
{
    double mid=(l+r)/2,x=get(l,mid),y=get(mid,r);
    if (fabs(val-x-y)<eps) return val;
    return sim(l,mid,x)+sim(mid,r,y);
}
double cal(double x)
{
    a=64*x*x/(w*w*w*w);
    return sim(-w/2,w/2,get(0,w/2));
}
void solve()
{
    int n;
    double l,r,mid;
    scanf("%d%d%d%d",&D,&H,&B,&L);
    n=B/D+((B%D)?1:0);
    w=(double)B/n;
    l=0;
    r=H;
    while (r-l>eps)
    {
        mid=(l+r)/2;
        if (cal(mid)*n<L) l=mid;
        else r=mid;
    }
    printf("%.2f\n",H-l);
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    for (int K=1;K<=T;K++)
    {
        if (K>1) putchar('\n');
        printf("Case %d:\n",K);
        solve();
    }
}