指数循环节（降幂）

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指数降幂

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本文介绍了一种处理大指数运算的降幂方法，通过欧拉定理和快速幂算法，实现对大数指数的有效计算。代码示例展示了如何求解特定形式的指数表达式模数问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

本文转自（侵删）：https://blog.youkuaiyun.com/GreatJames/article/details/77162961

指数循环节

在有些题目中我们需要对指数进行降幂处理才能计算。比如计算

其中和

这里由于很大，所以需要进行降幂。那么实际上有如下降幂公式

给定，和的值，求的值，其中，

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
 
using namespace std;
const int N = 1000005;
typedef long long LL;
 
char str[N];
 
int phi(int n)//求φ(n)
{
    int rea = n;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++)
    {
        if (n % i == 0)
        {
            rea = rea - rea / i;
            while (n % i == 0)
            {
                n /= i;
            }
        }
    }
    if (n > 1)
    {
        rea = rea - rea / n;
    }
    return rea;
}
 
LL multi(LL a, LL b, LL m)//快乘a*b%m
{
    LL ans = 0;
    a %= m;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
        {
            ans = (ans + a) % m;
            b--;
        }
        b >>= 1;
        a = (a + a) % m;
    }
    return ans;
}
 
LL quick_mod(LL a, LL b, LL m)//快速幂a^b%mod
{
    LL ans = 1;
    a %= m;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
        {
            ans = multi(ans, a, m);
            b--;
        }
        b >>= 1;
        a = multi(a, a, m);
    }
    return ans;
}
 
void Solve(LL a, char str[], LL c)//a^str%c
{
    LL len = strlen(str);
    LL ans = 0;
    LL p = phi(c);
    if (len <= 15)
    {
        for (int i = 0; i < len; i++)
        {
            ans = ans * 10 + str[i] - '0';
        }
    }
    else
    {
        for (int i = 0; i < len; i++)
        {
            ans = ans * 10 + str[i] - '0';
            ans %= p;
        }
        ans += p;
    }
    printf("%I64d\n", quick_mod(a, ans, c));
}
 
int main()
{
    LL a, c;
    while (~scanf("%I64d%s%I64d", &a, str, &c))
    {
        Solve(a, str, c);
    }
    return 0;
}