状态压缩

最新推荐文章于 2024-09-13 13:47:23 发布

原创最新推荐文章于 2024-09-13 13:47:23 发布 · 325 阅读

2 ·

CC 4.0 BY-SA版权

练手系列同时被 2 个专栏收录

73 篇文章

订阅专栏

状态压缩

7 篇文章

订阅专栏

本文深入探讨了动态规划结合二进制状态压缩的解题策略，通过三个实例详细解析了如何利用二进制表示状态并进行状态转移，包括无限制条件的状态转移、有障碍物的状态转移以及棋盘上的棋子放置问题。文章提供了完整的代码实现，旨在帮助读者掌握这一高效解题技巧。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

简单的讲就是把当前状态用二进制0 1表示出来，dp出方程

题目1：无测评

题目1 2：https://blog.youkuaiyun.com/ly59782/article/details/52088319

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>


using namespace std;

int n;
int f[1000000];

int main()
{
	int i,s;
	
	freopen("a.txt","r",stdin);
	scanf("%d",&n);
	
	f[0]=1;//注意初始值 
	for (s=1;s<=(1<<n)-1;s++)
	{
		for (i=0;i<n;i++)
		{
			if ((s&(1<<i))>0)
			{
				int S=s-(1<<i);
				f[s]+=f[S];
			}
		}
	}
	printf("%d",f[s-1]);
	
	return 0;
}

题目2代码：

注意：用二进制表示不能放置的位置，然后&一波

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

int n,m; 
int a[100],f[1000000];//a[]记录坑位 

int find(int x)
{
	int i,tot=0;
	
	while (x>0)
	{
		if (x%2==1)
			tot++;
		x/=2;
	}
	return tot;
}

int main()
{
	int i,x,y,s,S,l,temp;
	
	freopen("a.txt","r",stdin);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	
	for (i=1;i<=n;i++)
		a[i]=(1<<n)-1;
	
	for (i=0;i<m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		a[x]=a[x]-(1<<(y-1));
	}
	f[0]=1;
	
	for (s=1;s<=(1<<n)-1;s++)
	{
		l=find(s);
		temp=s&a[l];//temp为可以放置的位置 
		for (i=0;i<n;i++)
		{
			if ((temp&(1<<i))>0)
			{
				S=s-(1<<i);
				f[s]+=f[S];
			}
		}
	}
	printf("%d",f[s-1]);
	return 0;
}

题目3：

给出一个 n*m 的棋盘(n 、m≤ 80,n*m ≤ 80)，要在棋盘上放 k(k ≤ 20)个棋子，使得任意两个棋子不相邻。问有多少种方案。

思路：

1，预处理只有一行的所有状态：用dp思想来dfs预处理一波

void dfs(int state,int col,int tot)//state 状态 col所在列 tot 当前状态1的个数 
{
	if (col>y)
	{
		num++;
		s[num]=state;
		c[num]=tot;
		return ; 
	}
	dfs(state,col+1,tot);//不放
	dfs(state+(1<<(col-1)),col+2,tot+1);//放 
	//类似dp 
}

2，初始化：即把第一行初始化

		for (i=1;i<=num;i++)//初始化 
			f[1][s[i]][c[i]]=1;

3，循环行数i，这一行状态s[j],上一行状态s[k]，前i行棋子个数l

代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

int x,y,k1,num=0;
int s[1<<9];//s[]记录状态 
int c[1<<9];//c[]记录状态对应的1的个数 
long long f[80][1<<9][20+5];

//dfs() 预处理一波所有状态 
void dfs(int state,int col,int tot)//state 状态 col所在列 tot 当前状态1的个数 
{
	if (col>y)
	{
		num++;
		s[num]=state;
		c[num]=tot;
		return ; 
	}
	dfs(state,col+1,tot);//不放
	dfs(state+(1<<(col-1)),col+2,tot+1);//放 
	//类似dp 
}

int main()
{
	int i,temp,j,k,l;
	long long ans;
	
	freopen("a.txt","r",stdin);
	while (scanf("%d%d%d",&x,&y,&k1)!=EOF)
	{
		memset(f,0,sizeof(f));
		memset(s,0,sizeof(s));
		memset(c,0,sizeof(c));
		if (y>8)
		{
			temp=x;
			x=y;
			y=temp;
		}
		num=0;
		dfs(0,1,0);
		for (i=1;i<=num;i++)//初始化 
			f[1][s[i]][c[i]]=1;
		
		for (i=2;i<=x;i++)//行数 
		{
			for (j=1;j<=num;j++)//当前行状态 
			{
				for (k=1;k<=num;k++)//上一行状态 
				{
					if ((s[j]&s[k])>0)
						continue;
					for (l=c[j];l<=k1;l++)//前i行放的棋子个数 
						f[i][s[j]][l]+=f[i-1][s[k]][l-c[j]];
				}
			}
		}
		ans=0;
		for (i=1;i<=num;i++)
			ans+=f[x][s[i]][k1];
		printf("%lld\n",ans);
	}
	
	
	
	return 0;
}

数据：

8 9 20
8 8 20
8 7 20
9 8 20
9 8 10
1539190688200
15470473563
56230556
1539190688200
42040864507