bzoj2004 Bus公交路线

最新推荐文章于 2019-09-25 17:22:00 发布

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#DP #bzoj #NOI #状压DP #矩阵快速幂

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本文介绍了一种结合状态压缩动态规划与矩阵快速幂的算法解决方案，用于处理一类特定的公交路线问题。该方案利用状态压缩技巧表示公交车在各站点的停靠情况，并借助矩阵快速幂优化递推过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

公交路线

题目背景：

bzoj2004

分析：状压DP + 矩阵快速幂

首先，看到k，p <= 10，不用想了肯定是状压，再看到n <= 10⁹，不用想了，肯定是矩阵快速幂优化DP，然后考虑怎么做，因为题目要求，一辆公交车的两个停靠站之间距离不超过p，那么显然每p个公交站中，k辆车都至少出现一次，我们定义f[i][s]表示当前最慢的公交车到达位置i，在第i个站台到第i + p - 1个站台中，k辆公交车的停靠情况，(第j位为0/1表示这一个站台有/没有公交车停靠过)，那么显然我们可以考虑将当前任何一个有1的位置上的1往前移动，但是考虑如果我们随意移动的话，是可能造成状态的重复的，从一个状态转移到另一个状态如果需要两步操作，如果随意移动那么操作顺序不同就会导致答案重复了，那么我们来添加一些条件，首先因为前面已经说过f[i][s]表示当前最后一辆车到达i，那么显然状态首位一定是1，那么我么就强制要求每一次往前移动的一定就是当前位置i上的这个1，这样就不会造成重复了，所以每一种状态都是一个p为二进制数，中间都一定有k位为1，p - k位为0，并且考虑我们之前给定的所有现在，我们可以发现，对于一个状态s，它能够转移的新状态是固定的，那么到此我们就可以通过预处理出合法的状态已经状态间的转移来获得矩阵了，直接矩阵快速幂就可以了。

Source:

/*
	created by scarlyw
*/
#include <cstdio>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <vector>
#include <set>
#include <queue>

const int MAXN = 200 + 10;
const int mod = 30031;

struct matrix {
	int a[MAXN][MAXN];
	int n;
	matrix() {}
	matrix(int n) : n(n) {
		for (int i = 1; i <= n; ++i)
			for (int j = 1; j <= n; ++j)
				a[i][j] = 0;
	}
	
	inline matrix operator * (const matrix &b) {
		matrix temp(n);
		for (int i = 1; i <= n; ++i)
			for (int k = 1; k <= n; ++k)
				for (int j = 1; j <= n; ++j)
					temp.a[i][j] = (temp.a[i][j] + a[i][k] * b.a[k][j]) % mod;
		return temp;
	}
	
	inline matrix operator ^ (int b) {
		matrix ans(n), a = *this;
		for (int i = 1; i <= n; ++i) ans.a[i][i] = 1;
		for (; b; b >>= 1, a = a * a)
			if (b & 1) ans = ans * a;
		return ans;
	}
} m, ans;

int n, k, p, top;
int s[MAXN];
inline void dfs(int cur, int sum, int last) {
	if (cur > k) return (void)(s[++top] = sum);
	for (int i = last - 1; i >= 1; --i) dfs(cur + 1, sum | (1 << i - 1), i);
}

inline void solve() {
	scanf("%d%d%d", &n, &k, &p);
	dfs(2, (1 << p - 1), p), m = matrix(top);
	for (int i = 1; i <= top; ++i)
		for (int j = 1; j <= top; ++j) {
			int x = (s[i] << 1) ^ (1 << p) ^ s[j];
			if ((x & -x) == x) m.a[i][j] = 1;
		}
	m = (m ^ (n - k)), ans = matrix(top);
	printf("%d", m.a[1][1]);
}

int main() {
	solve();
	return 0;
}