洛谷 P4802 [CCO2015] 路短最

原创已于 2024-07-30 21:39:21 修改 · 413 阅读

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#图论 #c++ #数据结构 #算法

于 2024-07-30 21:38:05 首次发布

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Description

给定一张 $n$ 点 $m$ 边的有向图（可能有环），点的下标从 $0$ 开始，求 $0$ 到 $n - 1$ 的最长路（不允许重复走点和边）。 $\le n \le 18$ 。

Analysis

由于图不保证无环，所以不能用 Dijkstra 或 SPFA 来求最长路。
由于 $n$ 很小，考虑状压dp。设 $dp_{S,u}$ 表示当前走到 $u$ ，经过的点集合为 $S$ 的最长路。
易得状态转移方程为：
$dpS,u=max⁡dpS∪{v},v+w(u,v)(<u,v>∈E,v∉S)dp_{S,u}=\max dp_{S \cup \{v\},v} + w(u,v)\qquad\qquad(<u,v> \in E,v \notin S)$
可以用 记忆化搜索 去实现。

Code

// Problem: P4802 [CCO2015] 路短最
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P4802
// Memory Limit: 250 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
typedef pair<int, int> PII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	
	vector<vector<PII>> G(n);
	for(int i = 0, u, v, w; i < m; i++){
		cin >> u >> v >> w;
		G[u].push_back({v, w});
	}
	
	vector<vector<int>> dp(1 << n, vector<int>(n, 0));
	
	auto dfs = [&](auto self, int u, int state) -> int{
		if(u == n - 1) return 0;
		if(dp[state][u]) return dp[state][u];
		
		int len = -INF;
		for(auto &edge: G[u]){
			int v = edge.first, w = edge.second;
			if(!(state & (1 << v))) len = max(len, self(self, v, state | (1 << v)) + w);
		}
		return dp[state][u] = len;
	};
	
	cout << dfs(dfs, 0, 1) << endl;
	return 0;
}