信息学奥赛一本通 1642：【例 2】Fibonacci 第 n 项

原创已于 2023-10-21 21:47:54 修改 · 324 阅读

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#算法

于 2023-10-21 21:39:16 首次发布

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文章介绍了如何使用矩阵乘法优化计算Fibonacci数列的第n项，通过矩阵乘法和快速幂算法实现，强调矩阵乘法的顺序不可交换。

题目

1642：【例 2】Fibonacci 第 n 项

分析

看似简单，但一看数据范围就知道不容易。

先看斐波那契数列的递推公式：

$F_1=1 \\ F_2=1 \\ F_n=F_{n-1}+F_{n+2}$

据此推出矩阵乘法：

$\begin{bmatrix} F_i & F_{i-1} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} F_{i-2} & F_{i-3} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

进一步简化：

$\begin{bmatrix} F_n & F_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{n-2} \times \begin{bmatrix} F_2 & F_1 \end{bmatrix}$

推出来后直接计算即可。

注意：矩阵乘法不满足交换律，不能搞反掉顺序！！！

代码

#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long ll;

// 存矩阵
struct mat {
    ll m[5][5];
};
ll n, m;
mat f, res;

// 矩阵乘法
void multiple(mat &x, mat &y, mat &z) {
    memset(z.m, 0, sizeof z.m);
    for (int i = 1; i <= 2; i++)
        for (int j = 1; j <= 2; j++)
            for (int k = 1; k <= 2; k++) {
                z.m[i][k] += x.m[i][j] * y.m[j][k];
                if (z.m[i][k] >= m) z.m[i][k] %= m;
            }
}

void mpow(ll k) {
    mat temp = f, t;
    // 单位矩阵
    res.m[1][1] = res.m[2][2] = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) {
            multiple(res, temp, t);
            res = t;
        }
        multiple(temp, temp, t);
        temp = t;
        k >>= 1;
    }
}



int main(){
    cin >> n >> m;
    f.m[1][1] = f.m[1][2] = f.m[2][1] = 1;
    f.m[2][2] = 0;
    if (n <= 2) cout << 1 << endl;
    else {
        mpow(n - 2);
        ll ret = res.m[1][1] + res.m[1][2];  // 转移矩阵第一行都为1，直接加
        if (ret >= m) ret %= m;
        cout << ret << endl;
    }
    
    return 0;
}