并查集

并查集是什么

并查集是一种用来管理元素分组情况的数据结构。并查集可以高效地进行如下操作。不过需要注意并查集虽然可以进行合并操作，但是却无法进行分割操作

• 查询元素a和元素b是否属于同一组
• 合并元素a和元素b所在的组
  

并查集的结构

并查集也是使用树形结构实现的，不过不是二叉树。

每个元素对应一个节点，每个组对应一棵树。在并查集中，哪个节点是哪个节点的父亲以及树的形状等信息无需多家关注，整体组成一个树形结构才是重要的。

（1）初始化

我们准备n个节点来表示n个元素。最开始时没有边。

（2）合并

像下图一样，从一个组的根向另一个组的根连边，这样两棵树就变成了一棵树，也就是把两个组合并为了一个组。

（3）查询

为了查询两个节点是否属于同一组，我们需要沿着树向上走，来查询包含这个元素的树的根是谁。如果两个节点走到了同一个根，那么就可以知道他们属于同一组。
在下图，2和5都走到了1，因此他们为同一组。另一方面，由于7走到的是6，因此与2和7属于不同组

并查集实现中的注意点

在树形数据结构中，如果发生了退化的情况，那么复杂度就会变得很高。因此有必要避免退化

• 对于每棵树，记录这棵树的高度（rank）
• 合并时如果两个数的rank不同，那么从rank小的向rank大的连边。

此外，通过路径压缩，可以使得并查集更加高效。对于每个节点，一旦向上走到了一次根节点，就把这个点到父亲的边改为直接连向根。

在此之上，不仅仅是所查询的节点，在查询过程中向上经过的所有节点，都改为直接连到根上。这样再次查询这些节点时，就可以很快知道根是谁了。

并查集的复杂度

并查集的实现

下面是并查集的实现的例子。在例子中，用编号代表每个元素，数组par表示的是父亲的编号，par[x]=x时，x是所在的树的根

int par[MAX_N];//父亲
int rank[MAX_N];//树的高度

//初始化n个元素
void init(int n){
    for(int i=0;i<n;i++){
        par[i]=i;
        rank[i]=0;
    }
} 

//查询树的根
int find(int x){
    if(par[x]==x)
        return x;
    else
        return par[x]=find(par[x]);
} 

//合并x和y所属的集合
void unite(int x,int y){
    x=find(x);
    y=find(y);
    if(x==y)
        return;
    if(rank[x]<rank[y]){
        par[x]=y
    }else{
        par[y]=x;
        if(rank[x]==rank[y])
            rank[x]++;  
    }
} 

//判断x和y是否属于同一个集合
bool same(int x,int y){
    return find(x)==find(y);
} 

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