【转】POJ3181——Dollar Dayz（完全背包优化）

看到一篇很棒的题解，存下来。书上一直没明白的看这个题解瞬间打通任督六脉。
原博客地址：http://www.hankcs.com/program/cpp/poj-3181-dollar-dayz.html

原题如下：
Dollar Dayz
Time Limit: 1000MS Memory Limit: 65536K
Total Submissions: 6032 Accepted: 2273
Description

Farmer John goes to Dollar Days at The Cow Store and discovers an unlimited number of tools on sale. During his first visit, the tools are selling variously for $1,$2, and $3. Farmer John has exactly$5 to spend. He can buy 5 tools at $1 each or 1 tool at$3 and an additional 1 tool at $2. Of course, there are other combinations for a total of 5 different ways FJ can spend all his money on tools. Here they are:

    1 @ US$3 + 1 @ US$2

    1 @ US$3 + 2 @ US$1

    1 @ US$2 + 3 @ US$1

    2 @ US$2 + 1 @ US$1

    5 @ US$1

Write a program than will compute the number of ways FJ can spend N dollars (1 <= N <= 1000) at The Cow Store for tools on sale with a cost of $1..$K (1 <= K <= 100).
Input

A single line with two space-separated integers: N and K.
Output

A single line with a single integer that is the number of unique ways FJ can spend his money.
Sample Input

5 3
Sample Output

5

农夫约翰有N元钱，市场上有价值1……K的商品无限个，求所有的花钱方案？
这是一个完全背包问题和大数的混合题目。

《2.3 记录结果再利用的“动态规划” 优化递推关系式》练习题的第三题。

定义

dp[i][j] := 用i种价格配出金额j的方案数。

那么dp[i][0] = 1，使用任何价格配出金额0的方案个数都是1（什么都不用）。

递推关系式：

dp[i][j] = dp[i – 1][j] + dp[i – 1][j – i] + dp[i – 1][j – 2 * i] + … + dp[i – 1][0]

解释一下，dp[i][j] += 所有dp[i – 1][x]之和，其中x为比j小i的整数倍的数。我这种“中文伪码”描述得很别扭，拿用例举个栗子吧：

dp[2][5] = dp[1][5] + dp[1][3] + dp[1][1];
于是初步的代码：

include

using namespace std;

unsigned long long dp[100 + 16][1000 + 16]; // dp[i][j] := 用i种价格配出金额j的方案数

///////////////////////////SubMain//////////////////////////////////
int main(int argc, char *argv[])
{

ifndef ONLINE_JUDGE

freopen("in.txt", "r", stdin);
freopen("out.txt", "w", stdout);

endif

int N, K;
cin >> N >> K;
dp[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= K; ++i)
{
    for (int k = 0; k <= N; k += i)
    {
        for (int j = N; j >= k; --j)
        {
            dp[i][j] += dp[i - 1][j - k];
        }
    }
}
cout << dp[K][N] << endl;

ifndef ONLINE_JUDGE

fclose(stdin);
fclose(stdout);
system("out.txt");

endif

return 0;

}
///////////////////////////End Sub//////////////////////////////////
上面这份代码提交后报WA，换用 unsigned long long 依然WA，猜测是大数。嘛，那就实现一个简易的大数加法吧，原本用一个 unsigned long long 的地方改用两个，分别表示低位和高位。由于 unsigned long long 最大范围到 1844674407370955161 ，所以取一个比这个值小一个数量级同时又能被10整除的数作为limit，得出下面这份AC代码：

include

using namespace std;

// 0高位 1低位
unsigned long long dp[100 + 16][1000 + 16][2]; // dp[i][j] := 用i种价格配出金额j的方案数

define LIMIT_ULL 100000000000000000

///////////////////////////SubMain//////////////////////////////////
int main(int argc, char *argv[])
{

ifndef ONLINE_JUDGE

freopen("in.txt", "r", stdin);
freopen("out.txt", "w", stdout);

endif

int N, K;
cin >> N >> K;
dp[0][0][1] = 1;
for (int i = 1; i <= K; ++i)
{
    for (int k = 0; k <= N; k += i)
    {
        for (int j = N; j >= k; --j)
        {
            dp[i][j][0] += dp[i - 1][j - k][0];
            dp[i][j][1] += dp[i - 1][j - k][1];
            // 高位进位
            dp[i][j][0] += dp[i][j][1] / LIMIT_ULL;
            // 低位限制
            dp[i][j][1] = dp[i][j][1] % LIMIT_ULL;
        }
    }
}
if (dp[K][N][0])
{
    cout << dp[K][N][0];
}
cout << dp[K][N][1] << endl;

ifndef ONLINE_JUDGE

fclose(stdin);
fclose(stdout);
system("out.txt");

endif

return 0;

}
///////////////////////////End Sub//////////////////////////////////
12507590 hankcs 3181 Accepted 1856K 500MS C++ 1025B 2014-02-09 20:58:50
不过上面这份代码并非最优的，如果碰上了男人八题那种测试数据的话肯定会TLE吧。

为何说它不是最优的，因为在递推关系式中

dp[i][j] = dp[i – 1][j] + dp[i – 1][j – i] + dp[i – 1][j – 2 * i] + … + dp[i – 1][0]
将j换成j – i有

dp[i][j – i] = dp[i – 1][j – i] + dp[i – 1][j – 2 * i] + … + dp[i – 1][0]
于是就有：

dp[i][j] = dp[i – 1][j] + dp[i][j – i]
于是可以省掉一重循环，将复杂度降低到O(NK)。

……好冷，先去烤个火，指头冻僵了……

好的，优化递推关系式之后的代码：

include

using namespace std;

// 0高位 1低位
unsigned long long dp[100 + 16][1000 + 16][2]; // dp[i][j] := 用i种价格配出金额j的方案数

define LIMIT_ULL 100000000000000000

///////////////////////////SubMain//////////////////////////////////
int main(int argc, char *argv[])
{

ifndef ONLINE_JUDGE

freopen("in.txt", "r", stdin);
freopen("out.txt", "w", stdout);

endif

int N, K;
cin >> N >> K;
for (int i = 1; i <= K; ++i)
{
    dp[i][0][1] = 1;
    for (int j = 1; j <= N; ++j)
    {
        if (j < i)
        {
            dp[i][j][0] = dp[i - 1][j][0];
            dp[i][j][1] = dp[i - 1][j][1];
        }
        else
        {
            dp[i][j][0] = dp[i - 1][j][0] + dp[i][j - i][0];
            dp[i][j][1] = dp[i - 1][j][1] + dp[i][j - i][1];
            // 高位进位
            dp[i][j][0] += dp[i][j][1] / LIMIT_ULL;
            // 低位限制
            dp[i][j][1] = dp[i][j][1] % LIMIT_ULL;
        }
    }
}

if (dp[K][N][0])
{
    cout << dp[K][N][0];
}
cout << dp[K][N][1] << endl;

ifndef ONLINE_JUDGE

fclose(stdin);
fclose(stdout);
system("out.txt");

endif

return 0;

}
///////////////////////////End Sub//////////////////////////////////
这份代码速度比上一份快了一个数量级。