二、Relational Model 相关模型的运算

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一、相关数据库(Relational Database)的结构

1.行、列、表

这本的数据库研究的都是相关关系数据库，后面讲的全是这个相关关系。

• 一行(tuple)是一个实体，行的排列是无序的。

• 列名(colunm_name)叫做属性(attribute)

• 一个表(table)是一个实体的集合，就是一个相关关系(relation)

2.null值

（1）定义

null代表不知道的值（an unknown value）或者不存在（a value does not exist），用于行中。

（2）谓词

两个null值认为是一样的。

（3）运算

• 数学运算符对null进行操作后结果仍然为null。如：5+null 返回null。
• project$\Pi$、union$\cup$、set-intersection$\cap$、set-difference$-$、generalized projection：像对待其他数值一样
• aggregate functions ：
  在分组属性（grouping attributes）中：就像在project$\Pi$中一样。如果两个元组在所有分组属性上都相同，则操作会将它们放在同一组中，即使它们的某些属性为空。
  在聚合属性（aggregated attributes）中：在应用聚合之前，从一开始就删除空值。如果结果多重集为空，则聚合结果为空。

3.unknown值

（1）逻辑与、或、非

OR

(unknown or true) = true,
(unknown or false) = unknown
(unknown or unknown) = unknown

AND

(true and unknown) = unknown,
(false and unknown) = false,
(unknown and unknown) = unknown

NOT

(not unknown) = unknown

（2）谓词

P is unknown
如果P是unknown，那么P is unknown的判断结果是true

（3）select

如果值是unknown的话，那么值被认为不符合判断条件。

4.键

• 超键(super key):在关系中能唯一标识元组的属性集称为关系模式的超键。
  理解：超键是属性集，意味着一个列名可以是超键，几个列名也可以是超键
  如：{customer_id, customer_name} and {customer_id} are both superkeys of Customer.

• 候选键(candidate key):不含有多余属性的超键称为候选键
  理解：就是只有一个元素的超键。
  如：{customer_id}或{customer_name}都是候选键

• 主码(primary key):用户选作元组标识的一个候选键程序主键
  替换码(alternate Keys)：那么其他的候选键就是替换码。
  如：我们选择{customer_id}作为主码，那么{customer_name}就是候选码。反之一样

• 外码(foreign Key)：一个关系r1中的一个属性或一组属性，与关系r2（可能相同）的候选键相匹配。
  如：r1的外码是r2中主码。

5.完整性约束

• Entity integrity(实体完整性约束)：In a base relation, 主码的值不能为空.
• Referential integrity(参照完整性约束)：外键参照的那个表中主键必须存在。

二、相关关系的代数指令(查)

0.总结

只使用这些指令，那么意味着查询特定数据。
相应习题：https://blog.youkuaiyun.com/sandalphon4869/article/details/90516749#_225

基本代数名称	代数符号	作用
select	$\sigma$(sigma小写)	选择行
project:	$\Pi$(pi大写)	选择列
union:	$\cup$	行的并集，列相同
set difference:	–	行的差集，列相同
cartesian product:	$\times$	行的笛卡尔积，列=R和S的和（不是并集）
rename:	$\rho$	另命名

附加代数名称	代数符号	作用
set-intersection	$\cap$	行的交集，列相同
natural-join	$\bowtie$	自然连接：两表中相同属性中各个对应属性相同的去重属性笛卡尔积。
division	$÷$	除：表示结果是相关关系r的R-S的列，行是对于相同的r中的R-S列中的实体， 其相关关系r中的S列在相关关系s的S列都有的行。
assignment	←	赋值

扩展代数名称	代数符号	作用
generalized project	$\Pi$	含有代算术运算的选择列
聚合函数
avg	average value
min	minimum value
max	maximum value
sum	sum of values
count	number of values
四大连接
自然连接(内连接) natural join(inner join)	$\bowtie$	只保留两者都共有的
左连接left outer join	$⊐\bowtie$	保证左边关系的完整性
右连接right outer join	$\bowtie ⊏$	保证右边关系的完整性
全连接full outer join	$⊐\bowtie ⊏$	保证两边关系的完整性

1.Fundamental

（1）select:σ

格式：σ_p( r )

根据谓词p的选择条件，从相关关系r中挑选出符合条件的行。

谓词p

一个谓词条目（term）：[列column/属性attribute] [操作符op（=, ≠, >, <, ≥, ≤）] [某个值]
多个谓词的链接： ∧(and), ∨ (or), ￢ (not)

例子

选择出A=B并且D的值大于5的行构成新的相关关系

（2）project: $\Pi$

格式：${\Pi }_{A1,A2,...,A3}(r)$

从r中选择出特定的列（A1,A2,…,A3）构成新的相关关系
PS：自动去除重复的行，去重叫做（remove duplicate rows）

例子

（3）union: ∪

格式：r ∪ s

求两个相关关系的并集：行的并集，列相同（行去重）
PS：这两个相关关系必须有一样的属性/列

例子

（4）set difference: −

格式：r−s

求两个相关关系的差集：行的差集，列相同
PS：这两个相关关系必须有一样的属性/列

例子：

（5）cartesian product: X

格式：r X s

求两个相关关系的笛卡尔集

属性：

新生成的行数 = r的行数 * s的行数
新生成的列数 = r的列数 + s的列数

关系属性重名

要么

• 如果r ∩ s = 空集，那么可以直接r X s
• 如果两个关系属性重名(r X r)，则必须采用重命名机制(rename操作)加以区分，p_d( r )，然后才能
  r X d

例子：

（6）rename: $\rho$

格式：${\rho }_d(r)$

将相关关系r起名为d

格式：${\rho }_{d(A1,A2,...,An)}(r)$

将相关关系r起名为d，并将其内列名起名为A1,A2,…An。

（7）组合操作的例子

2.Additional

（1）set-intersection：∩

行的交集，列相同

格式：r ∩ s

r1和r2有一样的列/属性

等价: r ∩ s = r – (r – s)

等价于set difference

r – s：（在r中）去掉s中特有的元素、保存r中特有的元素（去掉r、s中共有的元素）
r –(r – s)： （在r中）去掉r中特有的元素（保存r、s中共有的元素）

例子

（2）natural join(inner join)：⋈

格式：r ⋈ s

r和s的自然连接：两表中相同属性中各个对应属性相同的去重属性笛卡尔积。

等价：$r\bowtie s={\Pi }_{r.A,r.B,r.C,r.D,s.E}({\sigma }_{r.B=s.B\bigvee r.D=s.D}(r\times s))$

等价于project, select, cartesian product

• ${\sigma }_{r.B=s.B\bigwedge r.D=s.D}(r\times s)$：r和s的笛卡尔积，选择B、D分别同值的行

r.A	r.B	r.C	r.D	s.B	s.D	s.E
α	1	α	a	1	a	α
α	1	α	a	1	a	γ
α	1	γ	a	1	a	α
α	1	γ	a	1	a	γ
δ	2	β	b	2	b	δ

• ${\Pi }_{r.A,r.B,r.C,r.D,s.E}({\sigma }_{r.B=s.B\bigwedge r.D=s.D}(r\times s))$：去掉一个B、D列

r.A	r.B	r.C	r.D	s.E
α	1	α	a	α
α	1	α	a	γ
α	1	γ	a	α
α	1	γ	a	γ
δ	2	β	b	δ

例子

（3）division：÷

格式：r ÷ s

等价：

设R = (A1, …, Am , B1, …, Bn )，S = (B1, …, Bn)
则$r÷s={\Pi }_{R-S}(r)–{\Pi }_{R-S}(({\Pi }_{R-S}(r))\times s–{\Pi }_R(r))$

等价于project, set difference, cartesian product

表示结果是相关关系r的R-S的列，行是对于相同的r中的R-S列中的实体，其相关关系r中的S列在相关关系s的S列都有的行。

比如：
相关关系r的R-S的列就是α、β、γ、δ、ε，
行就是α在r中有1、2，3，都有s中的1、2；β在r中有1、2，都有s中的1、2；γ在r中有1，缺少s中的2；δ在r中有1、3，4，缺少s中的2；ε在r中有1、6，缺少s中的2。
所以只有α、β符合。

• ${\Pi }_{R-S}(r)$

A
α
β
γ
δ
ε

• $({\Pi }_{R-S}(r))\times s$

A	B
α	1
α	2
β	1
β	2
γ	1
γ	2
δ	1
δ	2
ε	1
ε	2

• $({\Pi }_{R-S}(r))\times s–{\Pi }_R(r)$

A	B
γ	2
δ	2
ε	1

• ${\Pi }_{R-S}(({\Pi }_{R-S}(r))\times s–{\Pi }_R(r))$

A
γ
δ
ε

• $r÷s={\Pi }_{R-S}(r)–{\Pi }_{R-S}(({\Pi }_{R-S}(r))\times s–{\Pi }_R(r))$

A
α
β

例子

（4）assignment：←

$temp1\leftarrow {\Pi }_{R-S}(r)$

3.Extended

（1）generalized projection

格式：${\Pi }_{F1,F2,...,Fn}(r)$

一般化投影generalized projection是投影projection的扩展，是带上了算术运算的。
F表示A之间的算术运算，比如F = A₁+A₂

格式：${\Pi }_{F1asX,F2,...,Fn}(r)$

还可以把F1的列起名为X。

例子：

${\Pi }_{customer\_name,(limit-credit\_balance)ascredit\_available}(credit\_info)$

（2）aggregate functions

格式：

参数	含义	理解
E	E is any relational-algebra expression	相关关系
G	G1, G2 …, Gn is a list of attributes on which to group (can be empty)	列/属性(分组依据)
F	Each Fi is an aggregate function	聚合函数
A	Each Ai is an attribute name	列/属性

aggregate functions

聚合函数	含义
avg	average value
min	minimum value
max	maximum value
sum	sum of values
count	number of values

例子

（3）outer join：$⊐\bowtie$、$\bowtie ⊏$、$⊐\bowtie ⊏$

四大连接	格式	markdown	法则
自然连接(内连接) natural join(inner join)	$\bowtie$	$\bowtie$	只保留两者都共有的
左连接left outer join	$⊐\bowtie$	$\sqsupset \bowtie$	保证左边关系的完整性
右连接right outer join	$\bowtie ⊏$	$\bowtie \sqsubset$	保证右边关系的完整性
全连接full outer join	$⊐\bowtie ⊏$	$\sqsupset \bowtie \sqsubset$	保证两边关系的完整性

左连接、右连接、全连接都是在自然连接的基础上发展的，对于没有的值，用null值代替。
保证表示左边的相关关系里的共有列里的行都在结果中。

三、数据库的代数指令（增、删、改）

习题：https://blog.youkuaiyun.com/sandalphon4869/article/details/90516749#_311

1.增insertion

格式：$r\leftarrow r\cup E$

2.删deletion

格式：$r\leftarrow r-E$

只能删除整个元组(整行)；不能只删除特定属性上的值（一行中的某个值）

3.改updating

格式：$r\leftarrow {\Pi }_{F1,F2,...,Fn}(r)$