快速幂

##基于同余定理的快速幂 ##
再讲快速幂之前我们先来说一下同余定理这个神奇的东西哈：

同余定理：

1. 所谓同余，字面上的意思就是两个数或者多个数的除以一个数，所得的余数相同
   如果说a和b同时除以c，所得的余数均为r，那么可以写成a = mc + r ，b = nc + r(m和n为任意整数)，那么我们就可以用数学公式写成 a ≡ b (mod c)，即 a 和 b 同余。比如 9 和 2 除以 7 的余数均为2，那么我们可以写成 9 ≡ 2 (mod 7)。
2. 网上还有一种定义，即如果两个数 a 和 b 之差能被 c 整除，那么我们就说 a 和 b 对模数 c 同余（关于 c 同余）。比如，9 - 2除以 7 正好除尽，我们就说 9 和 2 对于模数 7 同余。它的另一层含义就是说，a = mc + r ，b = nc + r，( a - b ) = ( m - n )c对c能除尽，那么 a 和 b 同余。反之，令a = mc + r1 ，b = nc + r2 若c | a - b ,则c | c ( m - n ) + r1 - r2 ，则 c | r1 - r2，但| r1 - r2 | = 0，故r1 = r2,即 a ≡ b ( mod c)。
   推论： a ≡ b (mod c)的充要条件是a = c t +b（t为整数，可能改成a - b = ct 好看一点）。

---

定理1： 同余关系具有自反性、对称性、传递性，即

1） a ≡ a ( mod m) ;

2）若 a ≡ b (mod m), 则b ≡ a (mod m);

3）若a ≡ b (mod m) 且 b ≡ c (mod m)，则a ≡ c ( mod m) .

---

定理2：若 a ≡ b ( mod m) , c ≡ d (mod m),则
对于两个的同模同余式也能够进行加减乘运算。

1）a + c ≡ b + d (mod m);

2）a - c ≡ b - d (mod m);

3）ac ≡ bd (mod m).

第一第二个推论还挺好理解的，现在来证一下第三个推论：
设 a = wm + p ; b = xm + p ; c = ym + q ; d = zm +q ;
ac = ( wy )m^2+( wq +yp)m +pq
bd= ( xz ) m^2 +(xq + zp)m +pq
所以 ac ≡ bd( mod m )
对于乘法还有下面的推论：
推论 ： 若 a ≡ b ( mod m ),n 为自然数，则 an ≡ bn ( mod m )。
有的题要叫你“输出答案mod xxxxx的结果”，这是为了避免高精度运算，因为这里的结论告诉我们在运算过程中边算边mod和算完后再mod的结果一样。

---

定理3： 若 ca ≡ cb ( mod m) , ( c , m ) = d, 且 a , b 为整数，则 a ≡ b ( mod m/d).

推论：若 ca ≡ cb (mod m) , ( c , m ) = 1 , 且 a , b 为整数，则 a ≡ b ( mod m ).

---

定理4 ：若 a ≡ b ( mod m ), a ≡ b ( mod n ),则 a ≡ b ( mod [m,n] ).

推论：若 a ≡ b ( mod mi ), i = 1,2,…,n，则 a ≡ b ( mod [m1,m2,…,mn] ).

同余定理需要注意的一点是：主要是对余数的研究

下面我们进入各位期待的快速幂：
首先我们先了解两个公式（蒙哥马利幂模运算公式，由上面的同余定理推导出）：
1）a * b % n =（a % n ) * ( b % n ) % n
2）（a + b）% n =（a % n + b % n ) % n

一般这种题通常会让我们求 a ^ b % c ,即 a 的 b 次幂对 c 取模 ， 我们假设 a = 5 , b = 6 , c = 3
则 a 的 b 次方对 c 取模的值为5 ^ 6 % 3 ,转化为（5 ^ 2）^ 3 % 3 ，转化为（5 ^ 2）（（5 ^ 2）^2） % 3，即（（5 ^ 2）%3）（（5 ^ 2）^2 % 3）% 3
依据同余定理可得下列公式：
如 a ^ 5，可转化为（（a ^ 2）^2） a % c

以下是代码实现：

#include<iostream>
using namespace std;
long long remn(long long a,long long b,long long c)
{
	long long ans = 1;  
        a %= c;  						//先让a % = c是为了防止 a 很大，c很小的情况，毕竟a ≡a % c(mod c),这样做不会使(a*a)超限 
        while(b > 0){  
            if(b & 1){  				//（b&1）位运算判断奇偶，b&1=1是奇数，按位与运算
                ans = (ans * a) % c;  	//是奇数，可与之前是奇数是所求得的结果相乘求余，此时ans保存的是(之前ans乘上(a的平方次幂对c取模) )再对c取模的值 
            }  
            b >>= 1;					//为运算，右移一位等于除以2，最后必然得到一个奇数1，可由上方if语句求得结果
            a = (a * a) % c;  			//若是偶数，可相乘求余，此时a保存的是之前a的平方次幂对c取模 
        }  
       	cout<<ans<<endl;
}
int main()
{
	long long  x,y,z;
	while(cin>>x>>y>>z){
		remn(x,y,z);
	}
	return 0;
}

我建议读者多测试几组数据，并用编译器调试一下，看看每一步，每个变量的值是如何变化的，这样有助于理解，我就是通过调试理解的，嘻嘻，错误的地方还望各位大佬指正，谢谢