52、会话余代数：会话类型的余代数视角

会话余代数：会话类型的余代数视角

1. 会话余代数基础

在实际应用中，无限制通道通常只能执行一种通信操作。但会话余代数能够定义任意复杂的无限制类型，例如 μX. un ?int. un ?bool. X 属于类型范畴，不过在同一无限制通道上同时发送 int 和 bool 类型的数据会引发问题。

为了更好地理解会话余代数中的状态可并行性，我们引入以下定义：
- 可并行子集 ：给定余代数 (X, c)，若子集 Y ⊆ X 满足对于 Y 中的任意 x 和 y，有 x ∼ y、σ(x) = un 或 σ(y) = un 之一成立，则称 Y 是可并行的，记为 par(Y)。
- 可并行状态 ：设 ⟨x⟩c 表示由 x ∈ X 在 c 中生成的子余代数，⟨x⟩≫c 是 ⟨x⟩c 中包含 x 且在延续转换下封闭的最小子集。若 ⟨x⟩≫c 是可并行的，则称状态 x 是可并行的，记为 par(x)。

2. 模拟与子类型化

直观上，如果一个余代数模拟另一个余代数，意味着后者的行为“包含于”前者。子类型化最初由 Gay 和 Hole 定义在会话类型上，是类型可替换性的一种概念。我们定义的模拟概念与子类型化一致，就像双模拟提供了类型等价的概念一样。

在输入情况下，会话类型在子类型关系中的顺序与数据类型相同，这称为协变；在输出情况下，顺序相反，称为逆变。对于带标签的选择，外部选择的子类型可以是选择的子集，而内部选择的子类型可以添加更多选项。对于所有类型，通过转换到达的状态是协变的，即如果 T 是 U 的子类型，T 的延续必须是 U 的（相同标签的）延续的子类型。 </