数组最大的和是多少? 对应的N和M是多少?

题目：

有31, -41, 59, 26, 53, 58, 97, -93, -23, 84十个数。SUM(N,M)表示从第N个数到第M个数的和。如:SUM(2, 3) = -41 + 59 = 18。问:最大的和是多少? 对应的N和M是多少?

 

方案一：

计算所有的 SUM ，把 SUM_MAX 记录下来

 

int SumMax(const int data[], int length, int& start, int& end) { int max_sum = data[0], sum = 0; int i, j; for ( i=0; i<length; i++ ) { // 计算 i 中，SUM_MAX(i,length-1) sum = 0; for ( j=i; j<length; j++ ) { sum += data[j]; if ( max_sum < sum ) { max_sum = sum; start = i; end = j; } } } start++; end++; return max_sum; }

 

方案二：

在 方案一 上改进，若前一个元素大于当前元素，则前一元素的SUM_MAX一定大于当前元素的SUM_MAX。

如 SUM(10, -2, 3) 一定大于 SUM(-2, 3)。

所以可有以下改进

int SumMax(const int data[], int length, int& start, int& end) { int max_sum = data[0], sum = 0; int i, j; for ( i=0; i<length; i++ ) { // 判断前一元素是否比当前元素大，是则 continue if ( i > 0 && data[i-1] > data[i] ) { continue; } // 计算 i 中，SUM_MAX(i,length-1) sum = 0; for ( j=i; j<length; j++ ) { sum += data[j]; if ( max_sum < sum ) { max_sum = sum; start = i; end = j; } } } start++; end++; return max_sum; }

 

方案三：

受上述方案启发，SUM_MAX(0,N-1) 的最大和是 A(1) + SUM_MAX(2,N-1)
可以得出
SUM_MAX(2,N-1) = A(1) + SUM_MAX(3,N-1)
SUM_MAX(3,N-1) = A(1) + SUM_MAX(4,N-1)
SUM_MAX(4,N-1) = A(1) + SUM_MAX(5,N-1)
.......
就是 SUM_MAX(i,N) = A(i) + SUM_MAX(i-1,N-1)
比如 SUM_MAX(7,9){-93, -23, 84} = -93 + SUM_MAX(8,9){-23, 84}

代码如下：

// 利用动态规划，或递归，或字典解决 // 这里用简化的字典，倒推解决问题 int SumMax2(const int data[], int length, int& start, int& end) { int max_sum = data[length-1], sum = 0; end = start = length-1; int i; for ( i=length-1; i>=0; i-- ) { // 当 A(i) > A(i) + Sum(i-1, length-1) 应, 重新计算, 把 A(i-1, length-1) 抛弃 // 当 A(i) == A(i) + Sum(i-1, length-1) 为初始化 if ( data[i] >= data[i] + sum ) { sum = data[i]; // 当需要重新计算, 而且当前元素比 max_sum 大时, 重定位 if ( data[i] > max_sum ) { start = end = i; } continue; } else { sum += data[i]; } // 当前Sum(i, end) > max_sum, start 前移到 i if ( sum > max_sum ) { max_sum = sum; start = i; } } start++; end++; return max_sum; }

 

 

 

全部代码（copy到cpp上可以直接编译运行）：

#include <windows.h> #include <limits.h> #include <iostream> #include <process.h> // 利用动态规划，或递归，或字典解决 // 这里用简化的字典，倒推解决问题 int SumMax2(const int data[], int length, int& start, int& end) { int max_sum = data[length-1], sum = 0; end = start = length-1; int i; for ( i=length-1; i>=0; i-- ) { // 当 A(i) > A(i) + Sum(i-1, length-1) 应, 重新计算, 把 A(i-1, length-1) 抛弃 // 当 A(i) == A(i) + Sum(i-1, length-1) 为初始化 if ( data[i] >= data[i] + sum ) { sum = data[i]; // 当需要重新计算, 而且当前元素比 max_sum 大时, 重定位 if ( data[i] > max_sum ) { start = end = i; } continue; } else { sum += data[i]; } // 当前Sum(i, end) > max_sum, start 前移到 i if ( sum > max_sum ) { max_sum = sum; start = i; } } start++; end++; return max_sum; } int SumMax(const int data[], int length, int& start, int& end) { int max_sum = data[0], sum = 0; int i, j; for ( i=0; i<length; i++ ) { // 判断前一元素是否比当前元素大，是则 continue if ( i > 0 && data[i-1] > data[i] ) { continue; } // 计算 i 中，SUM_MAX(i,length-1) sum = 0; for ( j=i; j<length; j++ ) { sum += data[j]; if ( max_sum < sum ) { max_sum = sum; start = i; end = j; } } } start++; end++; return max_sum; } typedef int(*SumMaxFunc)(const int [], int, int&, int&); #define CountTimes(s,e) (e>=s ? e-s : (DWORD)~0-s+e) void CountProcessTime(SumMaxFunc func, const char* funcName, const int sum_count, const int data[], int length) { int max_sum, start, end; int i; DWORD dwStart, dwEnd; dwStart = ::GetTickCount(); for ( i=0; i<sum_count; i++ ) { max_sum = func(data, length, start, end); } dwEnd = ::GetTickCount(); printf("%s()/nmax: %d/nstart: %d/nend: %d/nprocess: %d/n/n" , funcName, max_sum, start, end, CountTimes(dwStart, dwEnd)); } int main() { int data[] = {31, -41, 59, 26, -53, 58, 97, -93, -23, 84}; const int counts = 100000000; CountProcessTime( SumMax, "SumMax", counts, data, sizeof(data)/sizeof(int) ); CountProcessTime( SumMax2, "SumMax2", counts, data, sizeof(data)/sizeof(int) ); system("pause"); }