CSCI5320 回忆录

回忆一下今年CSCI5320的期末试题，方便以后的同学参考。期末考主要是题量太大了，满分50分的试卷最后两道大题15分全空了。

$\to$ 题1：给出FPT和Kernelization的定义（4分）
解：参照讲义

$\to$ 题2：给出三种设计FPT算法的常用方法（6分）
解：参照讲义

$\to$ 题3：给定了一个图，求这个图里有多少个不同的MST（5分）
解：直接Prim或者其他算法时间不够用。考试我花了5分钟画了几个，放弃了。算出来是16个。
最快的应该是应用“red” rule，对于一个cycle，当中最大权值且唯一的边最终不会落到解集里，这样的边可以先删掉。大致可以删掉五六条边。
剩下的图里总共有12条边，10个点，所以还得删掉3条边。
简化的图里有3个cycle，1）两条边最大且相等（2种删除方案） 2）两条边最大且相等（2种删除方案） 3）四条边最大且相等（4种删除方案），所以总共有$2\times 2\times 4=16$种。

$\to$ 题4：设计一个FPT算法使得$k$顶点覆盖的复杂度低于$O(2^k)$（5分）
解：习题原题，没什么好说的，就是考虑$P_3$ path构造bounded search tree，然后用斐波那契数列算通项公式。

$\to$ 题5：给出5个和Dominating Set相关的parameterized problem。（5分）
解：凑了5个相关的，考完就忘了。

$\to$ 题6：设计一个FPT算法判断一个cubic graph是否存在$k$个点的点集$V^{\prime }$，使得$G[V^{\prime }]$是一颗树，并且树内部的节点度都是$3$。（5分）
解：用random separation，随机染色。解集$S$大小为$k$全染成红色，邻居$N(S)$全染成蓝色则构成一个good separation。那么这个可以在多项式时间内找到解（只要检查一下红色component是否包含满足条件的tree即可）。再套上概率$2^{4k}{t}^{O(log(t))}logn$去随机化，得到一个解。

$\to$ 题7：证明下述问题是w[1]-hard：“给定一个$k$独立集，寻找一个大小比$k$大的独立集”。（5分）
解：类似习题，因为$k$独立集是w[1]-hard，如果原问题不是w[1]-hard，我们可以将$k=k-1$，不断缩小，最终$k=1$的时候随意返回一个点，从而$k$独立集不是w[1]-hard。

$\to$ 题8：没来得及看题 orz… (5分)
解：完全没印象

$\to$ 题9：题意不太确定，大概是“给定一个图，随意的给每个顶点染上1到$t$颜色，是否存在$k$个点的点集$V^{\prime }$，使得$G-V^{\prime }$中不存在alternate path”。证明这个问题是NPC，并且设计一个FPT算法。（10分）
解：不会