Bellman-ford算法

当存在负权边的时候，最短路都不一定存在，比如说负环。

所以我们平时说的最短路一定是不含有环的，不管是dijkstra还是其他求最短路的问题，都是如此。

因为环存在三种情况，正环，负环和零环，而这三种环肯定不可能出现在最短路的路径中。如果存在这个肯定不能是最短路了(自己思考一下，很简单的)

排除了环，但是如果存在负边在图中，用dijkstra是不能求出最短路的(思考)。

所以当一个有负权边时就要用bellman-ford或者folyd求解了。

bellman-ford 算法 是一个典型的动态规划问题。

此算法为了避免环的影响，做一限制了源点到目标点得走得边数，即n 个顶点的图，最多走n-1路，所以最短路径是在 1到n-1 条边之内就能找到。 

则设dist[K][ V]  k 从1 到 n-1   V 为目标点。所以状态方程为:

dist[K][V] = min{ dist[K-1][V] + min{  dist[K-1][j] + map[j][v]     }     }

  K:  1->n-1       V: 1->n  但不包括源点。     j: 1->n   所以一种是三层循环  

下面是bellman-ford算法:

#define INF 1000000000
#define MAXN 8
int n;
int map[MAXN][MAXN];
int lowcost[MAXN];
void Bellman( int start )
{
	int i, j, k, u;
	for( i = 0; i < n; i++ )
		lowcost[i] = map[start][i];
	for( k = 2; k < n; k++ )
	{
		for( u = 0; u < n; u++ )
		{
			if( u != start )
			{
				for( j = 0; j < n; j++ )
					if( map[j][u] != INF && lowcost[j] + map[j][u] < lowcost[u] )
						lowcost[u] = lowcost[j] + map[j][u];

			}
		}
	}
}

bellman-ford算法和dijkstra的比较：

1.dijkstra算法求解过程中，是分两个集合，已经找到的最短路点集合S和还未找到的集合T，当一个点求出最短路以后，就并入了以求出的集合S，并且不再改变了，更新的是这个点到未找到集合T中顶点路径长度。

2.而bellman-ford算法在求解过程中，每次循环每个顶点lowcost[]值都可能要改变，所以要等整个算法结束以后才能确定lowcost[]整个的值。