数值分析重难点总结「一」

数值分析重难点总结「一」

一、数值计算中的误差

1. 绝对误差

对于准确数 $x^{\ast }$ 和近似值 $x$，两者之差即为绝对误差，即 $E=x-x^{\ast }$.

绝对误差限 $\epsilon$ 即为绝对误差的上界，即 $|E|=|x-x^{\ast }|⩽\epsilon$.

对于 $x^{\ast }$ 的近似值 $x=\pm 0.a_1{a}_2\dots a_n\times 10^m$ ，若误差 $|x-x^{\ast }|⩽\frac{1}{2}\times 10^{m-l}$ ，则 $x$ 有 $l$ 位有效数字。

例如， $\pi$ 的近似值 $3.1416$ 有五位有效数字。

2. 相对误差

记 $\frac{E}{x^{\ast }}=\frac{x-x^{\ast }}{x^{\ast }}$ 为近似值 $x$ 的相对误差，相对误差限 ${\epsilon }_r$ 即为相对误差的上限，即

$${\epsilon }_r=\frac{\epsilon }{x^{\ast }}⩾\frac{|x-x^{\ast }|}{|x^{\ast }|}=|RE|$$

设近似值 $x=\pm 0.a_1{a}_2\dots a_n\times 10^m$ 有 $n$ 位有效数字，则其相对误差限为

$${\epsilon }_r⩽\frac{1}{2a_1}\times 10^{-n+1}$$

3. 数值运算的误差估计

对于函数 $f(x)$ 的误差限估计式

$$\epsilon (f(x))\approx |f^{\prime }(x)|\epsilon (x)$$

对于 $A=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ ，计算 $A^{\ast }=f(x_1^{\ast },x_2^{\ast },\dots ,x_n^{\ast })$ 时的误差限为

$$\epsilon (A)\approx \sum _{k=1}^n\left|\frac{\partial f(x_1,x_2,\dots ,x_n)}{\partial x_k}\right|\epsilon (x_k)$$

当函数是二元函数时，公式成为

$$\epsilon (f(x,y))\approx \left|\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\right|\epsilon (x)+\left|\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\right|\epsilon (y)$$

设近似数 $x$ 与 $y$ 的误差限分别为 $\epsilon (x)$ 与 $\epsilon (y)$ ，则他们的四则运算后的误差限为

$$\{\begin{array}{l}\epsilon (x\pm y)\approx \epsilon (x)+\epsilon (y)\\ \epsilon (x\cdot y)\approx |y|\epsilon (x)+|x|\epsilon (y)\\ \epsilon (x/y)\approx \frac{|y|\epsilon (x)+|x|\epsilon (y)}{|y{|}^2}(y\ne 0)\end{array}$$

4. 数值计算的原则

1. 避免相近数做减法运算。
2. 避免分式中分母的绝对值远小于分子的绝对值。
3. 避免大数「吃」小数。

五、非线性方程求根

1. 二分法

基本思想： 先利用零点定理确定根的存在区间，然后将含根 $\alpha$ 的区间对分，通过判别对分点函数值的符号，将有根区间缩小一般；重复以上过程，将根的存在区间缩到充分小，从而求出满足进度要求的根的近似值。

二分法的优点是方法和计算都简单，且对函数 $f(x)$ 的性质要求不高，只需连续即可。缺点是收敛速度慢，也不能求偶数重根。

2. 不动点迭代法

将方程由 $f(x)=0$ 转化为等价的形式 $x=g(x)$。带入初值 $x_0$，不断迭代得到 $x_1,x_2\cdots$，当 $\alpha =g(\alpha )$ 时，$\alpha$ 是方程 $f(x)=0$ 的根。称函数 $g(x)$ 为迭代函数，称 $\alpha$ 是它的一个不动点。

3. 迭代法的收敛性

定义 5.2 若存在常数 $L>0$，使 $|g(x_1)-g(x_2)|⩽L|x_1-x_2|$，$\forall x_1,x_2\in [a,b]$，则称函数 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 满足 Lipschitz 条件，$L$ 称为 Lipschitz 常数。

常取 $L=\underset{x\in [a,b]}{\max }|g^{\prime }(x)|$，并用 $|g^{\prime }(x)|<1$ 来判断迭代公式是否收敛。

4. 迭代法的收敛速度 ( 收敛阶 )

定义 5.3 记第 $k$ 次迭代误差为 ${\epsilon }_k=\alpha -x_k$，并假设迭代公式是收敛的，若存在实数 $p⩾1$ 使得
$$\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{|{\epsilon }_{k+1}|}{|{\epsilon }_k{|}^p}=C\ne 0$$

则称迭代公式是 $p$ 阶收敛的，$C$ 称为渐进误差常数。

若 $p=1,C<1$，则称迭代公式为线性收敛；若 $p=2$，则称迭代公式为二阶收敛；若 $1<p<2$，或 $p=1$ 且 $c=0$ 则称迭代公式为超线性收敛。

定理 5.3 对迭代公式 $x_{k+1}=g(x_k)$，若 $g^{(p)}(x)$ 在根 $\alpha$ 的领域内连续，且
$$g^{\prime }(x)=g^{\prime \prime }(x)=\cdots =g^{(p-1)}(\alpha )=0$$

则迭代公式在根 $\alpha$ 的领域内至少是 $p$ 阶收敛的 ( $p$ 是正整数 ) ；若还有 $g^{(p)}(\alpha )\ne 0$，则迭代公式在根 $\alpha$ 的领域内是 $p$ 阶收敛的。

5. Newton 迭代法

迭代公式：
$$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}(f^{\prime }(x_k)\ne 0)$$

收敛速度：Newton 法在单根处具有二阶收敛性，但 Newton 法一般只有局部收敛性。

简化 Newton 法： 为了避免每次计算 $f^{\prime }(x_k)$ 增大了计算工作量。可取一常数 $C=f^{\prime }(x_0)$ 代替 $f^{\prime }(x_k)$：
$$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_0)},k=0,1,2,\cdots$$

割线法： Newton 迭代法需要计算函数的导数，当求导数有困难时，用差商 $\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}$ 近似代替微商 $f^{\prime }(x)$ 有迭代公式
$$x_{k+1}=x_k-\frac{x_k-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}f(x_k),k=1,2,3,\cdots$$

二、线性方程组的直接解法

1. Gauss 消去法

Gauss 消去法是利用一系列的初等行变换，将线性方程组 $Ax=b$ 的增广矩阵 $[A|b]$ 转化为上三角矩阵。

$$\begin{gathered} (A^{(1)}{b}^{(1)})=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}^{(1)}& a_{12}^{(1)}& \cdots & a_{1n}^{(1)}& b_1^{(1)}\\ a_{21}^{(1)}& a_{22}^{(1)}& \cdots & a_{2n}^{(1)}& b_2^{(1)}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{n1}^{(1)}& a_{n2}^{(1)}& \cdots & a_{nn}^{(1)}& b_n^{(1)}\end{array}\right]\underset{(i=2,3,\cdots ,n)}{\underrightarrow{r_i\leftarrow r_i-l_{i1}\times r_1}}\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}^{(1)}& a_{12}^{(1)}& \cdots & a_{1n}^{(1)}& b_1^{(1)}\\ 0& a_{22}^{(2)}& \cdots & a_{2n}^{(2)}& b_2^{(2)}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& a_{n2}^{(2)}& \cdots & a_{nn}^{(2)}& b_n^{(2)}\end{array}\right] \\ =(A^{(2)}{b}^{(2)})\to \cdots \to \left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}^{(1)}& a_{12}^{(1)}& \cdots & a_{1n}^{(1)}& b_1^{(1)}\\ & a_{12}^{(2)}& \cdots & a_{2n}^{(2)}& b_2^{(2)}\\ & & \ddots & ⋮& ⋮\\ & & & a_{nn}^{(n)}& b_n^{(n)}\end{array}\right]=(A^{(n)}{b}^{(n)}) \end{gathered}$$

2. 列主元消去法

在方程 $A^{(k)}x=b^{(k)}$ 进行第 $k$ 次消元前，先将第 $k$ 列对角线及以下的元素中选出绝对值最大者，而后交换选中的第 $i_k$ 行和第 $k$ 行，然后再利用 Gauss 消去法进行消元运算。

3. 全主元消去法

在列主元的基础上，并不只是在第 $k$ 列进行寻找最大值，而是在整个子块矩阵进行寻找，而后交换行列。

4. Gauss-Jordan 消去法

在方程 $A^{(k)}x=b^{(k)}$ 进行第 $k$ 次消元时，先将第 $k$ 列对角线以上和以下的元素都转化为零，且再将对角线元素转化为 1。常用于矩阵求逆。

$$(A^{(k)}{b}^{(k)})=\left[\begin{array}{ccccccc}1& & & a_{1k}& \cdots & a_{1n}& b_1\\ & \ddots & & ⋮& & ⋮& ⋮\\ & & 1& a_{k-1,k}& \cdots & a_{k-1,n}& b_{k-1}\\ & & & a_{kk}& \cdots & a_{kn}& b_k\\ & & & ⋮& & ⋮& ⋮\\ & & & a_{nk}& \cdots & a_{nn}& b_n\end{array}\right]$$

5. 矩阵的 $LU$ 分解

对 $A$ 进行 $LU$ 分解后，求解方程组 $Ax=b$ 就等价于解两个三角形方程组：

$$\{\begin{array}{l}Ly=b\\ Ux=y\end{array}$$

Doolittle 分解：

$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& & & \\ l_{21}& 1& & \\ ⋮& ⋮& \ddots & \\ l_{n1}& l_{n2}& \cdots & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{u}_{11}& u_{12}& \cdots & u_{1n}\\ & u_{22}& \cdots & u_{2n}\\ & & \ddots & ⋮\\ & & & u_{nn}\end{array}\right]$$

Crout 分解：

$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{l}_{11}& & & \\ l_{21}& l_{22}& & \\ ⋮& ⋮& \ddots & \\ l_{n1}& l_{n2}& \cdots & l_{nn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& u_{12}& \cdots & u_{1n}\\ & 1& \cdots & u_{2n}\\ & & \ddots & ⋮\\ & & & 1\end{array}\right]$$

6. 平方根法

Cholesky 分解：

定理 2.5 设 $A$ 为对称正定矩阵，则存在三角分解 $A=L{L}^T$，其中 $L$ 是非奇异下三角矩阵，当限定 $L$ 的对角元素为正时，分解唯一。

平方根法：

$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{l}_{11}& & & \\ l_{21}& l_{22}& & \\ ⋮& ⋮& \ddots & \\ l_{n1}& l_{n2}& \cdots & l_{nn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{l}_{11}& l_{21}& \cdots & l_{n1}\\ & l_{22}& \cdots & l_{n2}\\ & & \ddots & ⋮\\ & & & l_{nn}\end{array}\right]$$

7. 追赶法

对三对角阵 $A$ 做 Crout 分解，即得：

$$\left[\begin{array}{cccccc}{b}_1& c_1& & & & \\ a_2& b_2& c_2& & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & a_{n-1}& b_{n-1}& c_{n-1}& \\ & & & a_n& b_n& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}{\alpha }_1& & & & & \\ {\gamma }_2& {\alpha }_2& & & & \\ & \ddots & \ddots & & & \\ & & {\gamma }_{n-1}& {\alpha }_{n-1}& & \\ & & & {\gamma }_n& {\alpha }_n& \end{array}\right]\left[\begin{array}{cccccc}1& {\beta }_1& & & & \\ & 1& {\beta }_2& & & \\ & & \ddots & \ddots & & \\ & & & 1& {\beta }_{n-1}& \\ & & & & 1& \end{array}\right]$$

8. 向量和矩阵的范数

向量的范数：
设 $x=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^T$，常用的向量范数有：

$$\begin{gathered} ||x|{|}_1=\sum _{i=1}^n|x_i| \\ ||x|{|}_2=(\sum _{i=1}^n{x}_i^2{)}^{\frac{1}{2}} \\ ||x|{|}_{\infty }=\underset{1⩽i⩽n}{\max }|x_i| \end{gathered}$$

矩阵范数：

$$\begin{array}{rlrl}& ||A|{|}_1=\underset{1⩽j⩽n}{\max }\sum _{i=1}^n|a_{ij}|& & (最大列和范数，即各列元素绝对值和的最大值)\\ & ||A|{|}_2=\sqrt{{\lambda }_1}& & ({\lambda }_1是A^{T}A的最大特征值)\\ & ||A|{|}_{\infty }=\underset{1⩽i⩽n}{\max }\sum _{j=1}^n|a_{ij}|& & (最大行和范数，即各行元素绝对值和的最大值)\end{array}$$

谱半径：
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_i(i=1,2,\cdots ,n)$，则称 $\rho (A)=\underset{1⩽i⩽n}{\max }|{\lambda }_i|$ 为矩阵 $A$ 的谱半径，其中 $|{\lambda }_i|$ 表示特征值 ${\lambda }_i$ 的模。

定理 2.9 $\rho (A)⩽||A||$.

定理 2.11 若 $A$ 为实对称矩阵，则有 $\rho (A)=||A|{|}_2$.

条件数：
若 $n$ 阶方阵 $A$ 非奇异，称 $||A||\cdot ||A^{-1}||$ 为矩阵 $A$ 的条件数，记为 $\text{cond}(A)$，即 $\text{cond}(A)=||A||\cdot ||A^{-1}||$.

三、线性方程组的迭代解法

1. Jacobi 方法

令 $A=L+D+U$，则方程 $Ax=b$ 可以化为 $(L+D+U)x=b\Rightarrow Dx=-(L+U)x+b$，有

$$x=-D^{-1}(L+U)x+D^{-1}b$$
得 Jacobi 迭代法的矩阵形式为
$$x^{(k+1)}=-D^{-1}(L+U)x^{(k)}+D^{-1}b$$
其中，
$$L=\left[\begin{array}{ccccc}0& & & & \\ a_{21}& 0& & & \\ a_{31}& a_{32}& 0& & \\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{n,n-1}& 0\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& & & & \\ & a_{22}& & & \\ & & a_{33}& & \\ & & & \ddots & \\ & & & & a_{nn}\end{array}\right],U=\left[\begin{array}{ccccc}0& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1n}\\ & 0& a_{23}& \cdots & a_{2n}\\ & & 0& \ddots & ⋮\\ & & & \ddots & a_{n-1,n}\\ & & & & 0\end{array}\right]$$
一般带入初值 $x^{(0)}=[0,0,\cdots ,0{]}^T$.

2. Gauss-Seidel 迭代法

在 Jacobi 方法的迭代公式 $D{x}^{(k+1)}=-L{x}^{(k)}-U{x}^{(k)}+b$ 中，用 $L{x}^{(k+1)}$ 代替 $L{x}^{(k)}$，可得 $D{x}^{(k+1)}=-L{x}^{(k+1)}-U{x}^{(k)}+b$，于是得 Gauss-Seidel 法的矩阵形式迭代公式

$$x^{(k+1)}=-(D+L{)}^{-}U{x}^{(k)}+(D+L{)}^{-1}b$$
一般带入初值 $x^{(0)}=[0,0,\cdots ,0{]}^T$.

3. 逐次超松弛法

逐次超松弛法 (SOR 法) 可以看成是 Gauss-Seidel 方法的加速，Seidel 迭代法是 SOR 法的特例。将 Seidel 的迭代公式改写为 $D{x}^{(k+1)}=(1-\omega )D{x}^{(k)}+\omega D{x}^{(k+1)}=(1-\omega )D{x}^{(k)}+\omega (b-L{x}^{(k+1)}-U{x}^{(k)})$，得到 SOR 方法的矩阵形式迭代公式为

$$x^{(k+1)}=-(D+\omega L{)}^{-1}[(1-\omega )D-\omega U]x^{(k)}+\omega (D+\omega L{)}^{-1}b$$
一般带入初值 $x^{(0)}=[1,1,\cdots ,1{]}^T$.

4. 迭代法的收敛条件

从迭代矩阵判断收敛：

定理 3.1 对任意初始向量 $x^{(0)}$，由迭代公式 $x^{(k+1)}=B{x}^{(k)}+f$ 产生的迭代序列 {x(k)}\{x^{(k)}\}{x(k)} 收敛的充分必要条件为 $\rho (B)<1$.

常用 $||B|{|}_1<1$ 或 $||B|{|}_{\infty }<1$ 来判别迭代法收敛，且 $||B||$ 的值越小收敛就越快；但 $||B||⩾1$ 时，不能由此断定迭代法不收敛。

从系数矩阵判断收敛：

定义 3.2 若矩阵 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 满足 $|a_{ii}|⩾\sum _{j=1,j\ne i}^n|a_{ij}|,i=1,2,\cdots ,n$，且至少有一个严格不等式成立，则称 $A$ 对角占优。

若 $|a_{ii}|>\sum _{j=1,j\ne i}^n|a_{ij}|,i=1,2,\cdots ,n$，则称 $A$ 严格对角占优。

定义 3.3 若矩阵 $A$ 经过行交换和相应的列交换，能够变成
$$\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ 0& A_{22}\end{array}\right)$$

的形式，其中 $A_{11}$ 和 $A_{22}$ 为方阵，则称 $A$ 为可约矩阵，反之称 $A$ 为不可约矩阵。

定理 3.3 若 $A$ 是严格对角占优或 $A$ 是不可约对角占优，则解方程组 $Ax=b$ 的 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法均收敛。

定理 3.4 SOR 法收敛的必要条件是 $0<\omega <2$.

定理 3.5 若 $A$ 为实对称正定矩阵，且 $0<\omega <2$，则解方程组 $Ax=b$ 的 SOR 法收敛。

推论，若 $A$ 是实对称正定矩阵，则解方程组 $Ax=b$ 的 Gauss-Seidel 方法收敛，但 Jacobi 方法不一定收敛。

定理 3.6 若 $A$ 和 $2D-A$ 均为实对称正定矩阵，则解方程组 $Ax=b$ 的 Jacobi 迭代法收敛。

定理 3.7 若 $A$ 严格对角占优，则当 $0<\omega ⩽1$ 时 SOR 方法收敛。

四、方阵特征值和特征向量的计算

1. 乘幂法

乘幂法也称幂法，用来求矩阵按模最大特征值和相应的特征向量。

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 具有 $n$ 个线性无关的特征向量 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$，相应的特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 满足

$$|{\lambda }_1|>|{\lambda }_2|⩾|{\lambda }_3|⩾\cdots ⩾|{\lambda }_n|$$

则对任取的非零向量 $v_0$，由 $v_k=A{v}_{k-1}=\cdots =A^k{v}_0,k=1,2,\cdots$可产生一个向量序列 $v_k$.

定理 4.1 对上述向量序列 $v_k$ 有：

1)$\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{v_k}{{\lambda }_1^k}=a_1{x}_1$ ($a_1$ 为常数)；
2)$\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{(v_{k+1}{)}_m}{(v_k{)}_m}={\lambda }_1$. 其中 $x_1$ 是 ${\lambda }_1$ 所对应的特征向量，$(v_k{)}_m$ 表示 $v_k$ 的第 $m$ 个分量。

2. 改进的乘幂法

令 $v_0=u_0=[1,1,\cdots ,1{]}^T$，开始计算 ${\lambda }_1$，

$$\begin{gathered} v_1=A{u}_0=\frac{A{v}_0}{\max (v_0)},u_1=\frac{v_1}{\max (v_1)}=\frac{A{v}_0}{\max (A{v}_0)} \\ {v}_2=A{u}_1=\frac{A^2{v}_0}{\max (A{v}_0)},u_2=\frac{v_2}{\max (v_2)}=\frac{A^2{v}_0}{\max (A^2{v}_0)} \\ \cdots \cdots \cdots \\ {v}_k=A{u}_{k-1}=\frac{A^k{v}_0}{\max (A^{k-1}{v}_0)},u_k=\frac{v_k}{\max (v_k)}=\frac{A^k{v}_0}{\max (A^k{v}_0)} \end{gathered}$$

则有 $\underset{k\to \infty }{\lim }{u}_k=\frac{x_1}{\max (x_1)},\underset{k\to \infty }{\lim }\max (v_k)={\lambda }_1$.

3. 反幂法

反幂法，用来求矩阵 $A$ 按模最小特征值和相应的特征向量。

用乘幂法求出 $A^{-1}$ 的按模最大特征值和相应的特征向量，就可以获得 $A$ 的按模最小特征值和相应的特征向量

同样取 $v_0=[1,1,\cdots ,1{]}^T$，开始计算 $\frac{1}{{\lambda }_n}$，

$$u_0=\frac{v_0}{\max (v_0)},v_k=A^{-1}{u}_{k-1},u_k=\frac{v_k}{\max (v_k)},k=1,2,\cdots$$

则有 $\underset{k\to \infty }{\lim }{u}_k=\frac{x_n}{\max (x_n)},\underset{k\to \infty }{\lim }\max (v_k)=\frac{1}{{\lambda }_n}$.

一般采用矩阵三角分解的方法解方程组 $A{v}_k=u_{k-1}$ 来得到向量序列 $v_k$.

4. Jacobi 方法

Jacobi 方法用来求实对称矩阵的所有特征值和相应的特征向量。

对于一个实对称矩阵 $T_{k-1}$，可以通过平面旋转矩阵 $S_k$ 将其一步步的转化为一个对角阵 $\text{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$，其中，

$$\begin{gathered} \begin{array}{ccccccc}& & \text{p列}& & \text{q列}& & \end{array} \\ {S}_k=S(p,q)=\left[\begin{array}{ccccccc}1& & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & \cos {\theta }_k& \cdots & \sin {\theta }_k& & \\ & & ⋮& & ⋮& & \\ & & -\sin {\theta }_k& \cdots & \cos {\theta }_k& & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{array}\right]\begin{array}{c}\\ \\ \text{p行}\\ \\ \text{q行}\\ \\ \end{array} \end{gathered}$$

计算方法：

对于一个实对称矩阵 $T_{k-1}$，选取不在对角线上的绝对值最大的元素 $t_{pq}^{(k-1)}$，构造旋转矩阵 $S_k$，其中 $s_{pp}^{(k)}=\cos {\theta }_k,s_{pq}^{(k)}=\sin {\theta }_k,s_{qp}^{(k)}=-\sin {\theta }_k,s_{qq}^{(k)}=\cos {\theta }_k$，对角线元素为 1，其余元素为 0，计算 $T_k=S_k^T{T}_{k-1}{S}_k$.

$S_k$ 中要选择适当的 $\cos {\theta }_k$ 和 $\sin {\theta }_k$，需要先计算

$$a=\cot 2{\theta }_k=\frac{t_{qq}^{(k-1)}-t_{pp}^{(k-1)}}{2t_{pq}^{(k-1)}},-\frac{\pi }{2}⩽2{\theta }_k⩽\frac{\pi }{2}$$

而后计算

$$t=\pm \frac{1}{|a|+\sqrt{1+a^2}}\{\begin{array}{l}当a⩾0时，取+\\ 当a<0时，取-\end{array}$$

则有

$$\cos {\theta }_k=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}},\sin {\theta }_k=t\cdot \cos {\theta }_k$$

当 $\underset{k\to \infty }{\lim }{T}_k=\text{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$ 时，$T_k$ 对角线上的元素就是特征值，而特征向量

$$[x_1,x_2,\cdots ,x_n]=S_1\cdot S_2\cdots S_n$$