【JZOJ6103】Diyiti

Description

Solution

考虑两个序列（下标为$1$~$n$，左边为高位）：
$x:1100101$
$y:1001011$
$uv$
它的距离如何计算？
先找到最小的$v$使得$x_v<y_v$，再找到比$v$小最大的$u$使得$x_u>y_u$，那么最优策略是将$x_i=1(i>u)$全部抹掉，然后使$x-1$，使得${\forall }_{i>u}{x}_i=1$，最后把$y_i=1(i>u)$的$x_i$抹掉。
记$cn{t}_x$、$cn{t}_y$分别位$x$、$y$中$1$的个数，距离即为$cn{t}_x-cn{t}_y+n-u$。
有了这个我们就可以dp了，设$f_{i,j=0..1,k=0..2}$表示从后往前做到了第$i$位（低位往高位转移），$j$表示不考虑$i$~$n$位时$x$是否小于$y$（$j=1$表示小于），$k=2$表示$u$，$v$都还没出现，$k=1$表示$v$已出现但$u$未出现，$k=2$表示$u$，$v$都已出现。
$f$的转移直接考虑状态意义即可。
重要的是距离和的转移，重新考虑$+n-u$的含义，它代表在$k>0$时当前的$i$都会对前面$u$有贡献，所以在这种情况下直接贡献1的距离即可。

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;++i)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;--i)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=550,mo=1e9+7;
char s[N];
void inc(int &x,int y){
	x=x+y>=mo?x+y-mo:x+y;
}
struct node{
	int f,g;
	node(int _f=0,int _g=0) {f=_f,g=_g;}
	void up(const node x,int t){
		inc(f,x.f),inc(g,x.g);
		for(;t--;inc(g,x.f)); 
	}
}f[N][2][3];
int main()
{
	scanf("%s",s+1);
	int n=strlen(s+1);
	f[n+1][0][0]=f[n+1][0][2]=f[n+1][1][0]=f[n+1][1][2]=node(1,0);//序列可以同时不存在u,v。
	fd(i,n,1){
		int c=s[i]-'0';
		fo(j,0,1){
			int xr=!j?c:1;
			fo(k,0,2)//k=0:u,v k=1:v k=2:
			fo(x,0,xr){
				int yl=k==1?x:0,yr=!k?x:1;
				fo(y,yl,yr){
					int t=x-y+(k>0),p=j|(x<c),zt;//t为这一位的距离贡献
					if(!k) zt=1|(x>y?2:0);//k=0，这一位x>y时由1转移，否则由0转移。
					else zt=k&1?(x<y?4:2):4;//k=1，这一位x<y时由2转移，否则由1转移。
					fo(l,0,2) if(zt&(1<<l)) f[i][j][k].up(f[i+1][p][l],t);
				}
			}
		}
	}
	printf("%d",f[1][0][0].g);
}