【JZOJ5870】地图

最新推荐文章于 2022-10-30 18:00:00 发布

原创最新推荐文章于 2022-10-30 18:00:00 发布 · 310 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

题解同时被 3 个专栏收录

206 篇文章

订阅专栏

40 篇文章

订阅专栏

排列组合

7 篇文章

订阅专栏

Description

给定N个度数为1或2的点，求所有带标号简单无向图（无重边和自环）的方案数。

Solution

设度数为2的点有 $n$ 个，度数为1的有 $m$ 个。
因为只有1和2，所以图一定是由许多链和大小大于等于3的简单环构成的，于是我们可以先将度数为1的点忽略（它们只能构成链的两端，一定是两两配对的）。
先考虑环，设 $F_i$ 表示用 $1$ ~ $i$ 的点组成若干个环的方案数，考虑转移，枚举新加入环的大小，由于是带标号的，我们强制把 $i$ 放进新的环内，使得每个环具有区分性（可以理解为给每个环编号），避免算重。转移大概是这样： $Fi=∑j=3i12Fi−jCi−1j−1(j−1)!F_i=\sum_{j=3}^i\dfrac{1}{2}F_{i-j}C_{i-1}^{j-1}(j-1)!$
然后处理 $G_i$ ，先设一个 $g_{i,j}$ 表示 $i$ 个点组成 $j$ 条链的方案数。转移易得为 $gi,j=gi−1,j⋅(i−1+j)+gi−1,j−1g_{i,j}=g_{i-1,j}\cdot (i-1+j)+g_{i-1,j-1}$ 。最后考虑编号： $Gi=∑gi,j⋅Pm/2jG_i=\sum g_{i,j}\cdot P_{m/2}^j$
最后求出 $ans=(∏i=1m/22i−1)∑i=0nFi⋅Gn−ians=(\prod_{i=1}^{m/2}2i-1)\sum_{i=0}^n F_i\cdot G_{n-i}$

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;++i)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;--i)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e3+10,mo=998244353,n2=499122177;
int cn[N];
ll g[N][N],c[N][N];
ll F[N],G[N],jc[N];
int main()
{
	freopen("map.in","r",stdin);
	freopen("map.out","w",stdout);
	int n,o;
	scanf("%d",&n);
	fo(i,1,n) scanf("%d",&o),cn[o]++;
	if(cn[1]&1) return printf("0"),0;
	c[0][0]=jc[0]=1;
	fo(i,1,n){
		c[i][0]=1;
		fo(j,1,i) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mo;
		jc[i]=jc[i-1]*i%mo;
	}
	F[0]=1;
	fo(i,3,cn[2])
	fo(j,3,i) F[i]=(F[i]+F[i-j]*c[i-1][j-1]%mo*jc[j-1]%mo*n2%mo)%mo;
	g[0][0]=1;
	fo(i,1,cn[2])
	fo(j,1,min(cn[1]/2,i)) g[i][j]=(g[i-1][j]*(i+j-1)%mo+g[i-1][j-1])%mo;
	G[0]=1;
	fo(i,1,cn[2])
	fo(j,1,cn[1]/2) G[i]=(G[i]+g[i][j]*c[cn[1]/2][j]%mo*jc[j]%mo)%mo;
	ll ans=0;
	fo(i,0,cn[2]) ans=(ans+c[cn[2]][i]*G[i]%mo*F[cn[2]-i]%mo)%mo;
	ll tmp=1;
	fo(i,2,cn[1]/2) tmp=tmp*(i+i-1)%mo;
	printf("%lld",ans*tmp%mo);
}