【CQOI2014】数三角形

最新推荐文章于 2023-03-21 15:44:50 发布

sadnohappy

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分类专栏：题解数学其他 gcd

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本文介绍了一种计算特定网格上所有可能三角形数量的方法。通过先计算总的组合数，再减去所有三点共线的情况，最终得到有效的三角形数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给定一个 $n\times m$ 的网格，计算三点都在网格上的三角形共有多少个。

Solution

正难则反，三角形个数等于 $C_{(n+1)(m+1)}^3$ 减去三点共线的个数。那么枚举一个矩形的长和宽，计算对角线三点共线的数量，然后乘以矩形的个数即可。

横线上和竖线上可以直接统计。

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define N 1010
#define ll long long
using namespace std;
int a[N][N];
ll b[N][N];
ll calc(int x){
    return (ll)x*(x-1)*(x-2)/6;
}
int gcd(int x,int y)
{
    int z;
    while(x%y!=0)
    {
        z=x%y;
        x=y;
        y=z;    
    }
    return y;
}
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    n++,m++;
    ll t=n*1ll*m,ans=calc(t);
    fo(i,1,n-1)
    fo(j,1,m-1)
    ans-=(ll)(n-i)*(m-j)*(gcd(i,j)-1)*2;
    ans-=(ll)n*calc(m)+(ll)m*calc(n);
    printf("%lld",ans);
}