23、模糊系统与可能性理论：逼近能力与不确定性建模

模糊系统与可能性理论：逼近能力与不确定性建模

模糊系统的逼近能力

模糊系统设计旨在逼近理想的输入 - 输出映射，这在系统识别和统计回归等领域是常见问题。通常，模糊系统是从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}$ 的映射，通过一组规则构建。例如，给定规则 “如果对于 $i = 1, 2, …, n$，$x_i \in A_{ij}$，那么 $y \in B_j$（$j = 1, 2, …, r$）”，选择 $t$ - 范数 $\triangle$ 表示 “与”，$t$ - 余范数 $\triangledown$ 表示 “或”，可得到隶属函数：
$\mu(y) = \triangledown_{1\leq j\leq r} [A_{1j}(x_1) \triangle… \triangle A_{nj}(x_n) \triangle B_j(y)]$
以及 $y^ $ 的值：
$y^ = \frac{\int_{\mathbb{R}} y\mu(y)dy}{\int_{\mathbb{R}} \mu(y)dy}$

该映射 $x \to y^ = f^ (x)$ 依赖于以下因素：
- 隶属函数 $A_{ij}$ 和 $B_j$
- $t$ - 范数 $\triangle$ 和 $t$ - 余范数 $\triangledown$
- “去模糊化过程” $\mu(y) \to y^*$

若用 $M$ 表示模糊概念隶属函数类，$L$ 表示模糊逻辑连接词类，$D$ 表示去模糊化过程，则三元组 $(M, L, D)$ 称为设计方法，指定了输入 - 输出映射 $y^