Java - 数据结构，二叉树

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#数据结构 #java #算法

于 2023-03-01 18:44:42 首次发布

这篇博客介绍了树和二叉树的概念，包括树的度、叶子结点、双亲结点等概念，并详细讲解了二叉树的特殊类型：满二叉树和完全二叉树，以及二叉树的性质。文章还涵盖了二叉树的存储方法，特别是链式存储，包括孩子表示法。此外，重点讨论了二叉树的遍历方法，如前序、中序、后序遍历以及层序遍历，并给出了相关的练习题和代码示例。

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一、什么是树

概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

1、有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。
2、每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
3、树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.1、概念（重要）

1、结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如图：A的度为6

2、树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如图：树的度为6

3、叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如图：B、C、H、I…等节点为叶结点

4、双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如图：A是B的父结点，A是C的父结点，A是D的父结点…

5、孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如图：B是A的孩子结点，C是A的孩子结点，D是A的孩子结点

6、根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如图：A

7、结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

8、树的高度：树中结点的最大层次；如图A：树的高度为4，
树的深度：A的深度是1，E的深度是2，J的深度是3，Q的深度是4

9、非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如图：D、E、F、G…等节点为分支结点

10、兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如图：B、C是兄弟结点

11、堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如图：H、I互为兄弟结点

12、结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如图：A是所有结点的祖先

13、子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙

14、森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.2、树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {
   
   
	int value; // 树中存储的数据
	Node firstChild; // 第一个孩子引用
	Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

孩子兄弟表示法
孩子双亲表示法

1.3、树的应用

文件系统管理（目录和文件）
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

二、二叉树

2.1、概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

或者为空

或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

二叉树跟我们前面讲的树的区别就在于：二叉树的每个结点，最多只能有两个 “孩子”/子树，最少零个。
也就是说：一棵树，如果是二叉树，那么它的每棵子树都是二叉树【都有左子树和右子树】。

注意：
1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
3. 对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
在这里插入图片描述

2.2、两种特殊的二叉树

2.2.1、满二叉树

满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树
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2.2.2、完全二叉树

完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树
在这里插入图片描述

2.3、二叉树的性质

若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第k层上最多有 2的k-1次方 (k>0) 个结点

若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 2的k次方-1 (k>=0)

对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有 n0＝n2＋1
得出一个结论：任何一棵二叉树，叶子结点比度为2的节点多一个

4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为上取整

对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
（1）若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
（2）若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
（3）若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

二叉树的练习题

某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386
一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（）
A 11
B 10
C 8
D 12

答案：
1.B 2.A 3.B 4.B

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2.4、二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
这里，我们讲链式存储。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的。常见的表示方式有二叉和三叉表示方式。
【二叉：孩子表示法；三叉：孩子双亲表示法】

2.4.1、模拟创建二叉树

提前说明：二叉树的构建是一个非常复杂的过程，因为目前作者对二叉树的理解，还不是很深。所以，我们先会创建一个二叉树，但是这种创建方式，很LOW，只是为了应付前期使用，比较简单，不是正确的常用创建方式。

首先经过刚刚分析，二叉树是有一个一个节点构成的，所以我们就要创建节点

//首先经过刚刚分析，二叉树是有一个一个节点构成的，所以我们就要创建节点
class BTNode{
   
   
    public char val; //值域
    public BTNode left; //存储左孩子的引用
    public BTNode right; //存储右孩子的引用

    /**
     * 为什么不提供left 和 right的构造方法，这是因为我们创建节点的时候知道左右孩子的引用吗
     * 肯定是不知道的，所以不用提供
     * @param val
     */
    public BTNode(char val){
   
   
        this.val = val;
    }
}

public class BinaryTree {
   
   
    //创建一棵二叉树
    public BTNode creatBTN(){
   
   
        BTNode A = new BTNode('A');
        BTNode B = new BTNode('B');
        BTNode C = new BTNode('C');
        BTNode D = new BTNode('D');
        BTNode E = new BTNode('E');
        BTNode F = new BTNode('F');
        BTNode G = new BTNode('G');
        BTNode H = new BTNode('H');

        A.left = B;
        A.right = C;
        B.left = D;
        B.right = E;
        E.right