29、平衡统计力学基础解读

平衡统计力学基础解读

1. 细致平衡与相互作用对称性

在描述循环神经网络运行的马尔可夫过程模型中，存在一个在 $2^N$ 种可能微观状态 $\sigma$ 上定义明确且唯一的平稳分布 $p_{\infty}(\sigma)$，当 $t \to \infty$（$N$ 固定）时可达到该分布。其由平稳条件确定：
对于所有 $\sigma \in {-1, 1}^N$，有 $p_{\infty}(\sigma) = \sum_{\sigma’} W(\sigma, \sigma’) p_{\infty}(\sigma’)$。
然而，要计算 $p_{\infty}(\sigma)$，需求解 $2^N$ 个线性方程组成的系统，这几乎是不可能完成的任务。

但对于某些马尔可夫过程，平稳分布满足更强的条件：
对于所有 $\sigma, \sigma’ \in {-1, 1}^N$，有 $W(\sigma, \sigma’) p_{\infty}(\sigma’) = W(\sigma’, \sigma) p_{\infty}(\sigma)$ ，此条件被称为细致平衡条件。满足该条件的马尔可夫过程被称为服从细致平衡。通过对所有 $\sigma’$ 求和，并利用转移概率的归一化条件 $\sum_{\sigma’} W(\sigma’, \sigma) = 1$，可以看出任何服从细致平衡条件的分布 $p_{\infty}(\sigma)$ 必然是平稳的，但反之不成立。

细致平衡极大地简化了平稳概率分布 $p_{\infty}(\sigma)$ 的计算。它表明，除了概率分布是平稳的之外，该分布描述了一种平衡状态，即任意两个微观系统状态 $\sigma$ 和 $\sigma’