2、循环神经网络的特性与分析

循环神经网络的特性与分析

在神经网络的研究领域中，循环神经网络（RNNs）因其独特的结构和功能，在处理序列数据等方面展现出了强大的能力。本文将深入探讨循环神经网络的模型、激活函数、可观测性、可识别性、最小性以及可控性和前向可达性等重要特性。

1. 循环神经网络模型

循环神经网络可以在离散时间或连续时间中演化。其基本模型由以下差分或微分方程描述：
[
\begin{cases}
x^+ = G(AX + Bu) \
y = Cx
\end{cases}
]
其中，(x \in R^n) 是状态向量，(u \in R^m) 是输入向量，(y \in R^p) 是输出向量，(A \in R^{n\times n})，(B \in R^{n\times m})，(C \in R^{p\times n})。并且，(G(x) = [a(x_1), \cdots, a(x_n)])，这里的 (a) 是一个给定的从 (R) 到自身的奇函数。

如果 (a) 是恒等函数，那么该模型就是一个标准的线性系统；如果 (a) 是非线性函数，则该系统被称为（单层）循环神经网络（RNNs），函数 (a) 被称为激活函数。对于连续时间模型，我们通常假设激活函数 (a) 至少是局部 Lipschitz 的，控制映射 (u(\cdot)) 是局部本质有界的，这样上述微分方程就有唯一的局部解。

在对 RNNs 进行系统理论分析时，需要满足两个基本条件，分别涉及激活函数 (a) 和控制矩阵 (B)：
- 激活函数的非线性要求 ：若对于所有的 (N \in N) 和所有的对 ((a_1,