[bzoj 1002] [FJOI2007]轮状病毒：数学，递推，高精度

题意：n轮状病毒是这样一种病毒：n个基原子围成一圈，中间是一个核原子，基原子和核原子、基原子和相邻两个核原子之间可以有通道，任意两原子之间有且仅有一条通道，求有多少n轮状病毒（n<=100）。这不是在数同分异构体，经旋转、翻转后相同的轮状病毒视作不同的。

原本觉得是矩阵树定理，数据范围也挺像$O(n^3)$，就没深入地思考这道题。Finger_Leader同学说他是本校第一位写出这道题的同学，并且告诉我用不着高斯消元，于是我想了想。

看起来，我们应该建递推。但是连通性的约束不好处理。

换一个角度。观察图形。所有轮状病毒都长这样：外面分成几瓣，每一瓣中有一条通道连接核原子。断掉外围一条边，问题转化为求

$$F_n = \sum_{\sum a_i= n}\prod a_i$$

递推一下，$F_n = \sum_{k=1}^nkF_{n-k}, F_0 = 1$。

先前断掉了一条边，让我们把少算的情况加回来。如果这条边所属的那一瓣中共有k个结点，那么答案要加上$(k-1)$个$kF_{n-k}$，于是

$$answer(n) = F_n + \sum_{k=2}^n(k-1)kF_{n-k}$$

直接这样写，时间复杂度是$O(n^2)$。别忘了高精度。我开了long long，发现n=100时答案是正的，就提交了，结果WA。又试了几个数，立刻变负……看来我对数量级还是缺乏概念。

但是Finger_Leader同学不是这样写的，网上的题解也不是这样写的……大多用的是矩阵树定理，由于本题轮状病毒长得很有规律，所以可以推导出一个简单的公式，无须高斯消元。忽略高精度，时间复杂度为$O(n)$。

我的解法能不能优化呢？

先展开观察一番：

$$F_n = 1F_{n-1} + 2F_{n-2} + \dots + (n-1)F_1 + nF_0\\ F_{n+1} = 1F_n + 2F_{n-1} + 3F_{n-2} + \dots + nF_1 + (n+1)F_0$$

再作个差，移项：

$$F_{n+1} = F_n + \sum_{k=0}^n F_k(n \ge 1), F_0 = F_1 = 1$$

递推一下前缀和，就把时间复杂度成功降至$O(n)$，从28ms降为0ms。空间也可以优化到$O(1)$。

发现$F_n$是间隔一项的斐波那契数列！

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAX_N = 100;

struct Big {
    const static int w = 5, base = 1e9, lg = 9;
    int x[w];

    Big(ll a=0)
    {
        *this = a;
    }

    Big operator=(ll a)
    {
        for (int i = 0; i < w; ++i, a /= base)
            x[i] = a % base;
        return *this;       
    }

    Big operator+(const Big& b) const
    {
        Big c;
        for (int i = 0, f = 0; i < w; ++i)
            if (f = (c.x[i] = x[i] + b.x[i] + f) >= base)
                c.x[i] -= base;
        return c;
    }

    Big operator+=(const Big& b)
    {
        return *this = *this + b;
    }

    Big operator*(const Big& b) const
    {
        Big c;
        for (int i = 0; i < w; ++i)
            for (int j = 0, f = 0; i+j < w; ++j) {
                ll t = (ll)b.x[i]*x[j] + c.x[i+j] + f;
                c.x[i+j] = t % base;
                f = t / base;
            }
        return c;
    }

    void print() const
    {
        int i = w-1;
        while (i && !x[i])
            --i;
        printf("%d", x[i--]);
        while (i >= 0)
            printf("%0*d", lg, x[i--]);
    }
};

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    Big f(1), S(1), ans(n*(n-1));
    for (int i = 1; i <= n; ++i) { // f[i]
        if (i > 1)
            f += S;
        S += f;
        if (i <= n-2)
            ans += Big((n-i)*(n-i-1))*f;
    }
    (ans+f).print();
    return 0;
}