《麻省理工公开课：线性代数》Lecture 1~3 笔记

决定写[WC 2011]XOR一题。

先学了高斯消元法。它和我以前想的解线性方程组的方法很相似。那时在学化学方程式的配平，我发现用待定系数法、根据元素守恒列方程就好了。为了表现自己“彻底”解决了这个问题，我写了个解线性方程组的程序。发现代入法不好实现，便决定采用加减消元法。又发现消元完毕后，会形成一个三角形（好神奇！），回代很方便。于是有了如下的大致思路：以第1个方程的未知数1为基准，消掉第2～n个方程中的未知数1；以第2个方程的未知数2为基准，消掉第3～n个方程中的未知数2……最后剩下第n个方程，只有一个未知数，而整个方程组形成了一个三角形，把第n个未知数代入第(n-1)个方程解出未知数(n-1)，把第n、(n-1)个未知数代入第(n-2)个方程解出未知数(n-2)……整个过程结束后，方程组就解完了。已经忘记一些细节是怎么处理的了，比如我不记得我有交换行的步骤，也许压根就没处理吧……

但是我并没懂得XOR和高斯消元法的联系——听说是经典应用？线性基——这是什么鬼？

经历了头痛欲裂的四五天（没有心情写作业或者睡觉或者研究其他题，听课质量低下），我释然了。是该学习一下线性代数，至少有个感性的认知。找了一套公开课http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html，大概能在本年之内学完。

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Lecture 1

2016.5.17

线性方程组可以横着看（row picture），可以竖着看（column picture）。横着看是我们熟知的解析几何，竖着看是向量的线性组合（linear combination）。

例子：

$$2x-y = 0\\ -x+2y = 3$$
它们可以是平面上两条直线 2x-y = 0、-x+2y = 3，也可以是向量的线性组合：
$$x\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ \end{bmatrix} +y\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ \end{bmatrix}$$
解Ax = b是线性代数里的重要问题。Ax是A的列向量的线性组合。

Lecture 2

2016.5.19

高斯消元。初等形式已经会了，有趣的是可以用矩阵来表示。我还没有明白矩阵是什么，暂且理解为一些排列成矩形、用方括号括起来的数，它们可以看成一些行向量排成一行行，也可以看成一些列向量排成一列列。

以

$$x+2y+z=2\\ 3x+8y+z=12\\ 4y+z=2$$
为例。

它的系数矩阵是

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 3 & 8 & 1\\ 0 & 4 & 1\\ \end{bmatrix}$$

Step 1 以(1, 1)为主元，行2-3x行1：

⎡⎣⎢1−30010001⎤⎦⎥×⎡⎣⎢130284111⎤⎦⎥=⎡⎣⎢100224