week3——归并排序

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本文是博主在Coursera学习时所写的学习笔记，如有错误疏漏还望各位指正。

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归并排序

基本思想

• 将列表分为两部分
• 通过递归将每部分排序
• 合并两部分
  

举个例子

输入一个数组 $G,E,E,M,R,C,E,A,R,T$
将其分为两部分，并对每个部分排序，如下图

合并两部分

新建一个aux[]的拷贝a[]
设两部分最小元素的下标为i，j，每次比较i，j所对应的元素大小，将较小的元素放入a[],让后将i或j加1，直至将两部分合并完成。

算法分析

• 时间复杂度
  比较次数：$O(NlogN)$
  数组访问次数：$O(6NlogN)$
• 空间复杂度
  需要额外的$O(N)$，这是归并排序最明显的缺点

代码实现

    public class MergeSort {

    //合并
    private static void merge(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int mid, int hi) {
        for (int k = lo; k <= hi; k++)
            aux[k] = a[k];
        int i = lo, j = mid + 1;
        for (int k = lo; k <= hi; k++) {
            if (i > mid)
                a[k] = aux[j++];
            else if (j > hi)
                a[k] = aux[i++];
            else if (less(aux[j], aux[i]))
                a[k] = aux[j++];
            else
                a[k] = aux[i++];
        }
    }

    private static boolean less(Comparable a, Comparable b) {
        return a.compareTo(b) < 0;
    }

    private static void sort(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int hi) {
        if (hi <= lo)
            return;
        int mid = lo + (hi - lo) / 2;
        sort(a, aux, lo, mid);
        sort(a, aux, mid + 1, hi);
        merge(a, aux, lo, mid, hi);
    }

    public static void sort(Comparable[] a) {
        Comparable[] aux = new Comparable[a.length];
        sort(a, aux, 0, a.length - 1);
    }
}

改进

对划分后较小的数组使用插入排序

因为递归的原因，归并排序对较小的数组有很大开销，因此对较小的数组我们改用插入排序
将上述的sort(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int hi)改为如下：

private static void sort(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int hi)
{
    //当数组长度小于CUTOFF时使用插入排序，CUTOFF应设置为常数。
    if (hi <= lo + CUTOFF - 1)
    {
        Insertion.sort(a, lo, hi);
        return;
    }
    int mid = lo + (hi - lo) / 2;
    sort (a, aux, lo, mid);
    sort (a, aux, mid+1, hi);
    merge(a, aux, lo, mid, hi);
}

如果归并前排序已经完成则停止

对划分后的两部分分别排序后，如果左边最大的元素小于右边最大的元素，则不要进行归并
将sort(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int hi)改为如下：

private static void sort(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int hi)
{
    if (hi <= lo) return;
    int mid = lo + (hi - lo) / 2;
    sort (a, aux, lo, mid);
    sort (a, aux, mid+1, hi);

    //新添加的代码
    if (!less(a[mid+1], a[mid])) return;

    merge(a, aux, lo, mid, hi);
}

自下而上归并排序

基本思想

将数组划分为长度为1的若干数组，合并成为长度为2的若干数组。
将长度为2的书组合并成长度为4的若干数组。以此类推，直至排序完成。

举个例子

示例图

代码实现

将sort(Comparable[] a)改为如下：

public static void sort(Comparable[] a)
{
    int N = a.length;
    Comparable[] aux = new Comparable[N];
    for (int sz = 1; sz < N; sz = sz+sz)//每次归并的数组长度，1，2，4，8....
        for (int lo = 0; lo < N-sz; lo += sz+sz)//每次归并的子数组a[lo]~a[N-sz]
            merge(a, aux, lo, lo+sz-1, Math.min(lo+sz+sz-1, N-1));
}

说明

这种自下而上的归并排序是一种简单的无递归归并排序，但是要大约比应用递归的自顶而下的归并排序慢10%