群体遗传学数学基础

数学基础

以下全明白才能看懂之后的：

• 排列组合
• 数学期望方差
• 求导
• 离散型二维随机变量
• 信息熵
• 拉格朗日乘子法
• 拉格朗日函数构造

一对等位基因孟德尔群体及其数量表示

• 孟德尔群体：群体遗传学研究对象，是能够互交繁殖的个体集合
• 孟德尔群体的遗传结构：它的基因分布和基因型分布

1.群体遗传结构

(AA,Aa,aa)=(p₂,p₁,p₀)
(A,a)=(p,q)

2.基因频率由基因型频率唯一确定

p=p₂+1/2p₁
q=p₀+1/2p₁

3.哈温伯格定律

在随机交配的大孟德尔群体中，其遗传结构为
(AA,Aa,aa)=(p²,2pq,q²)
(A,a)=(p,q)
随机交配下的平衡：

4.平衡群体的性质

4.1 Shannon信息熵最大

平衡群体：

(AA,aA,Aa,aa)=(p²,pq,pq,q²)

由基因库行程的基因型（正反交分开）信息源：

G =
[AA Aa aA aa
p₁₁ p₁₂ p₂₁ p₂₂]

由pij计算基因A，a的频率p，q ：


基因型的信息熵：
使s(G)最大的基因型频率可归结为如下条件极值：

https://www.numberempire.com/latexequationeditor.php
\begin{cases}
\sum\limits_{i=1}^2\sum\limits_{j=1}^2(p_{ij})=1 \\
p=1/2\sum\limits_{j=1}^2(p_{1j}+p_{j1}) \\
q=1/2\sum\limits_{j=1}^2(p_{2j}+p_{j2}) \\
s(G)=-\sum\limits_{i=1}^2\sum\limits_{j=1}^2(p_{ij}lnp_{ij})=max
\end{cases} \

构建拉格朗日函数约束条件求解：

p₁₁=p²
p₂₂=q²
p₁₂=p₂₁=pq

4.2 S(G)=2S(A)

基因库(A,a)=(p,q)的信息熵：

S(A)=-(plnp+qlnq), 0<=S(A)<=ln2

基因型的信息熵：

S(G)=-(p²lnp²+2pqlnpq+q²lnq²) =-2(plnp+qlnq)=2S(A)

遗传多态性

1.描述遗传多态性

• 对于群体的遗传变异，通常用多态位点的比例来度量
• 群体中基因型的多型性，通过群体中两性配子随机结合成各种基因型中杂合体的比例来描述，称为杂合度

多态位点：基因分布中绝大多数等位基因的频率在区间(0.01,0.99)之内，比如ABO血型位点

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