9、从运动中恢复结构：原理、方法与应用

从运动中恢复结构：原理、方法与应用

1. 引言

在计算机视觉领域，从运动中恢复结构（Structure from Motion, SfM）是一个关键问题，它旨在根据多个图像中特征点的稀疏对应关系来估计三维点的位置，同时通常还需要同时估计三维几何结构（结构）和相机姿态（运动）。这个过程在许多应用中都有重要作用，如三维建模、增强现实等。

2. 三角测量（Triangulation）

三角测量是根据一组对应的图像位置和已知的相机位置来确定一个点的三维位置的问题，它与之前研究的姿态估计问题相反。

2.1 简单求解方法

一种简单的求解方法是找到距离所有与二维匹配特征位置对应的三维射线最近的三维点 $p$。对于相机 $P_j = K_j[R_j|t_j]$（其中 $t_j = -R_jc_j$，$c_j$ 是第 $j$ 个相机中心），射线从 $c_j$ 出发，方向为 $\hat{v} j = N(R_j^{-1}K_j^{-1}x_j)$。射线 $c_j + d_j\hat{v}_j$ 上距离 $p$ 最近的点 $q_j$ 满足：
- 距离公式：$|c_j + d_j\hat{v}_j - p|^2$，其最小值在 $d_j = \hat{v}_j \cdot (p - c_j)$ 处取得。
- 则 $q_j = c_j + (\hat{v}_j\hat{v}_j^T)(p - c_j) = c_j + (p - c_j) {\parallel}$。
- $p$ 与 $q_j$ 的平方距离为 $r_j^2 = |(I - \hat{v} j\hat{v}_j^T)(p - c_j)|^