20、MATLAB中二维偏微分方程求解实例及相关问题解析

MATLAB中二维偏微分方程求解实例及相关问题解析

1. 二维偏微分方程求解实例

在MATLAB中，我们可以使用PDE Modeler来求解各种二维偏微分方程（PDE）。下面将介绍两个具体的例子，分别是二维热传导方程和二维瞬态扩散方程。

1.1 二维热传导方程

二维热传导方程的形式为：
[
\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\alpha(T)\frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\alpha(T)\frac{\partial T}{\partial y}\right)
]
其中，$T$ 是温度，$x$ 和 $y$ 是笛卡尔坐标，$t$ 是时间，$\alpha$ 是材料的热扩散率，$\alpha = k/(c_p\rho)$，$k$ 是热导率，$c_p$ 是热容，$\rho$ 是材料密度。这里假设所有变量都是无量纲的，并且热扩散率与温度有关，$\alpha = 0.3T + 0.4$。

问题描述 ：使用PDE Modeler求解一个 $3\times1$ 矩形板的热传导方程，边界条件为：矩形的两条相对水平边 $T = 1$，两条相对垂直边 $T = 0$（PDE Modeler的默认值）。设置时间 $t = 0, 1, 2, \cdots, 10$，并以3D图表示最终（$t = 10$）的温度分布 $T(x,y)$。将结果传输到工作区，并显示 $x = 0, 0.5, \cdots,