3、量子力学基础：电子自旋、耦合与微观粒子不可区分性

量子力学基础：电子自旋、耦合与微观粒子不可区分性

1. 电子自旋与自旋轨道

1925 年，G. E. Uhlenbeck 和 S. Goudsmit 为解释原子光谱中的现象，如碱金属光谱的双线结构、塞曼效应和斯特恩 - 盖拉赫实验等，提出电子具有自旋的假设。电子自旋与轨道运动不同，具体对比如下：
| 对比项 | 自旋 | 轨道运动 |
| ---- | ---- | ---- |
| 角动量 | 自旋角动量为 $\frac{\hbar}{2}$（$\hbar=\frac{h}{2\pi}$） | 轨道角动量是 $\hbar$ 的整数倍 |
| 磁矩与角动量比值 | $\frac{e}{mc}$ | $\frac{e}{2mc}$ |
| 朗德因子（g 因子） | $\vert g_s\vert = 2$ | $\vert g_l\vert = 1$ |

这些差异导致了碱金属光谱的双线结构和塞曼效应。

单个电子的自旋角动量可以用矢量算符 $\mathbf{s}$ 表示，其沿 $x$、$y$、$z$ 轴的分量分别为 $s_x$、$s_y$、$s_z$。自旋角动量的平方与这些分量对易，即：
[
\begin{cases}
\left[s^2, s_x\right] = 0 \
\left[s^2, s_y\right] = 0 \
\left[s^2, s_z\right] = 0
\end{cases}
]
$s^2$ 和 $s_z$（沿 $z$ 轴的分量）的本征值分别为：
- $s(s + 1)\hbar^2$，其中 $s = \frac{1}