代数组合论 - 第二章 立方体和Radon变换

Ch02 立方体和 Radon 变换

用 ${\mathbb{Z}}_2$ 表示 2 阶循环群，${\mathbb{Z}}_2^n$ 表示本身的 $n$ 次直积，即为 $0$ 和 $1$ 组成的 $n$ 元组 $(a_1,a_2,...,a_n)$. 定义如下一个称为 $n$ 维立方体的图 $C_n$：$C_n$ 的顶点集为 $V={\mathbb{Z}}_2^n$，两顶点 $u$ 和 $v$ 之间有一条边当且仅当它们有一个坐标不同，也就是说，$u+v$ 恰有一个坐标非 $0$.

为了明确地得到 $C_n$ 的特征值和特征向量，采用有限Radon变换。用 $\mathcal{V}$ 表示所有函数 $f:{\mathbb{Z}}_2^n\to \mathbb{R}$ 的集合，其中 $\mathbb{R}$ 表示实数域。（注意 $\mathcal{V}$ 是 $\mathbb{R}$ 上的 $2^n$ 维向量空间）

定义向量空间 $\mathcal{V}$ 中两组重要的基。对应于每一个 $u\in {\mathbb{Z}}_2^n$ 在每组基中都有一个基元。

第一组基 $B_1$ 基元 $f_u$ 定义如下：
$$f_u(v)={\delta }_{uv}\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

其中 ${\delta }_{ij}$ 为 Kronecker delta.

$B_1$ 是一组基，因为对 $\forall g\in \mathcal{V}$ 都满足
$$\begin{array}{r}g=\sum _{u\in {\mathbb{Z}}_2^n}g(u)f_u\end{array}\text{\hspace{1em}(2.3)}$$
第二组基 $B_2$ 基元 ${\mathcal{X}}_u$ 定义如下：
$${\mathcal{X}}_u(v)=(-1{)}^{u\cdot v}$$

2.1 引理

集合 B 2 = { X u : u ∈ X 2 n } B_2 = \{\mathcal{X_u}:u\in\mathbb{X_2^n}\} B2​={Xu​:u∈X2n​} 构成了 $\mathcal{V}$ 的一组基。

Proof:

证明正交：
$$\begin{array}{rl}<{\mathcal{X}}_u,{\mathcal{X}}_v>& =\sum _{w\in {\mathbb{Z}}_2^n}{\mathcal{X}}_u(w){\mathcal{X}}_v(w)\\ & =\sum _{w\in {\mathbb{Z}}_2^n}(-1{)}^{(u+v)\cdot w}\\ & =\{\begin{array}{ccc}& 2^n,& whenu+v=0\\ & 0,& ow.\end{array}\end{array}$$
$u+v=0$ 当且仅当 $u=v$，于是正交。

定义 Radon 变换：

给定 ${\mathbb{Z}}_2^n$ 的子集 $\Gamma$ 和函数 $f\in \mathcal{V}$，定义一个新函数 ${\Phi }_{\Gamma }f\in \mathcal{V}$ 为：
$${\Phi }_{\Gamma }f(v)=\sum _{w\in \Gamma }f(v+w)$$
函数 ${\Phi }_{\Gamma }f$ 就称为 $f$（在群 ${\mathbb{Z}}_2^n$ 上关于其子集 $\Gamma$）的（离散或有限）Radon 变换。

易知 ${\Phi }_{\Gamma }:\mathcal{V}\to \mathcal{V}$ 是一个线性变换。

2.2 定理

${\Phi }_{\Gamma }$ 的特征向量是函数组 ${\mathcal{X}}_u$，其中 $u\in {\mathbb{Z}}_2^n$，对应于 ${\mathcal{X}}_u$ 的特征值 ${\lambda }_u$（即 ${\Phi }_{\Gamma }{\mathcal{X}}_u={\lambda }_u{\mathcal{X}}_u$）是
$${\lambda }_u=\sum _{w\in \Gamma }(-1{)}^{u\cdot w}$$
Proof:
$$\begin{array}{rl}{\Phi }_{\Gamma }{\mathcal{X}}_u(v)& =\sum _{w\in \Gamma }{\mathcal{X}}_u(v+w)\\ & =\sum _{w\in \Gamma }(-1{)}^{u\cdot (v+w)}\\ & =(\sum _{w\in \Gamma }(-1{)}^{u\cdot w}){\mathcal{X}}_u(v)\end{array}$$
因此
$${\Phi }_{\Gamma }{\mathcal{X}}_u=(\sum _{w\in \Gamma }(-1{)}^{u\cdot w}){\mathcal{X}}_u$$
注意到 ${\Phi }_{\Gamma }$ 的特征向量 ${\mathcal{X}}_u$ 与 $\Gamma$ 无关；仅特征值依赖于 $\Gamma$.

现在可以得到主要结果了。设 Δ = { δ 1 , . . . δ n } \Delta = \{\delta_1,...\delta_n\} Δ={δ1​,...δn​}，其中 ${\delta }_i$ 是第 $i$ 个单位坐标向量。${\delta }_i$ 的第 $j$ 个坐标正好是 ${\delta }_{ij}$（Kronecker delta）. 用 $[{\Phi }_{\Delta }]$ 表示线性变换 ${\Phi }_{\Delta }:\mathcal{V}\to \mathcal{V}$ （关于由(2.2)给出的 $\mathcal{V}$ 的基 $B_1$）的矩阵。

2.3 引理

若 $A\text{A}A(C_n)$ 为 $n$ 维立方体的邻接矩阵，则 $[{\Phi }_{\Delta }]=A\text{A}A(C_n)$.

Proof:
$$\begin{array}{rl}{\Phi }_{\Delta }{f}_u(v)& =\sum _{w\in \Delta }{f}_u(v+w)\\ & =\sum _{w\in \Delta }{f}_{u+w}(v)\end{array}$$
上式是因为 $u=v+w$ 当且仅当 $u+w=v$（没看懂？？？）. 因此
$${\Phi }_{\Delta }{f}_u=\sum _{w\in \Delta }{f}_{u+w}\text{\hspace{1em}(2.4)}$$
于是
$$\begin{array}{r}({\Phi }_{\Delta }{)}_{uv}=\{\begin{array}{ccc}& 1,& ifu+v\in \Delta \\ & 0,& ow.\end{array}\end{array}$$
$u+v\in \Delta$ 当且仅当 $u$ 和 $v$ 仅有一个坐标不同。这正好是 $uv$ 作为 $C_n$ 的边的条件，证毕。

2.4 推论

$A\text{A}A(C_n)$ 的特征向量（看作是 $C_n$ 的顶点的线性组合）$E_u$（$u\in {\mathbb{Z}}_2^n$）由下式给出
$$\begin{array}{r}{E}_u=\sum _{v\in {\mathbb{Z}}_2^n}(-1{)}^{u\cdot v}v\end{array}\text{\hspace{1em}(2.5)}$$
对应于 $E_u$ 的特征值是
$$\begin{array}{r}{\lambda }_u=n-2\omega (n)\end{array}\text{\hspace{1em}(2.6)}$$
其中 $\omega (n)$ 是 $u$ 中 $1$ 的数目（即 Hamming权），因此 $A\text{A}A(C_n)$ 有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)$ 个特征值等于 $n-2i$.

Proof:

根据 $(2.3)$ 对 $\forall g\in \mathcal{V}$
$$g=\sum _{\mathcal{V}}g(v)f_v$$

对 $g={\mathcal{X}}_u$ 应用上式，可得
$$\begin{array}{r}{\mathcal{X}}_u=\sum _v{\mathcal{X}}_u(v)f_v=\sum _v(-1{)}^{u\cdot v}{f}_v\end{array}\text{\hspace{1em}(2.7)}$$

根据定理2.2，对应于 ${\Phi }_{\Delta }$ 的特征向量 ${\mathcal{X}}_u$（或等价地，$A\text{A}A(C_n)$ 的特征向量 $E_u$）的特征值为
$$\begin{array}{r}{\lambda }_u=\sum _{w\in \Delta }(-1{)}^{u\cdot w}=n-2\omega (n)\end{array}\text{\hspace{1em}(2.8)}$$
至此，我们得到了计算 $C_n$ 中游动条数所需的全部信息。

2.5 推论

设 $u,v\in {\mathbb{Z}}_2^n$，且 $\omega (u+v)=k$（即 $u$ 和 $v$ 恰有 $k$ 个坐标不同）。则在 $C_n$ 中 $u$ 与 $v$ 之间长为 $l$ 的游动的条数为

$$\begin{array}{r}({A\text{A}A}^l{)}_{uv}=\frac{1}{2^n}\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^k(-1{)}^j\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{i-j}\right)(n-2i{)}^l\end{array}\text{\hspace{1em}(2.9)}$$
注意到如果 $j>i$，则 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{i-j}\right)=0$

特别地，
$$\begin{array}{r}({A\text{A}A}^l{)}_{uu}=\frac{1}{2^n}\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(n-2i{)}^l\end{array}\text{\hspace{1em}(2.10)}$$
Proof:

令 $E_u^{{}^{\prime }}=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}}{E}_u$ 得到一组标准正交基，根据推论1.2，可得
$$({A\text{A}A}^l{)}_{uv}=\frac{1}{2^n}\sum _{w\in {\mathbb{Z}}_2^n}{E}_{uw}{E}_{vw}{\lambda }_w^l$$
$E_{uw}$ 是展开式 $(2.5)$ 中 $f_w$ 的系数，即 $E_{uw}=(-1{)}^{u\cdot w}$，而 ${\lambda }_w=n-2\omega (w)$. 因此
$$\begin{array}{r}({A\text{A}A}^l{)}_{uv}=\frac{1}{2^n}\sum _{w\in {\mathbb{Z}}_2^n}(-1{)}^{(u+v)\cdot w}(n-2\omega (n){)}^l\end{array}\text{\hspace{1em}(2.11)}$$

$\omega (w)=i$，且与 $u+v$ 有 $j$ 个公共 $1$ 的向量 $w$ 的个数为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{i-j}\right)$，$(2.11)$ 就化简为 $(2.9)$，证毕。