68、线性规划的单纯形法与对偶性解析

线性规划的单纯形法与对偶性解析

1. 单纯形法简介

单纯形法是一种用于求解线性规划问题的算法。它通过在可行域的顶点间寻找路径，以贪心的方式逐步增加目标函数的值。虽然该算法在最坏情况下的运行时间是指数级的，但在实际应用中通常能快速得出结果。

2. 松弛形式

为了使用单纯形法求解线性规划问题，首先需要将问题转化为松弛形式。具体操作是把标准形式中的每个不等式约束改写为等价的等式约束，这需要引入新的非负变量，即松弛变量，来衡量原不等式两边的差值。

例如，对于不等式 (2x - 5y \leq 28)，引入松弛变量 (s)，并满足 (s = 28 - (2x - 5y)) 且 (s \geq 0)。

形式上，线性规划的松弛形式为：
最大化：
(z = c^* + \sum_{j \in F} c_j x_j)
约束条件：
(x_i = b_i - \sum_{j \in F} a_{ij} x_j)，其中 (i \in B)
(x_i \geq 0)，对于 (1 \leq i \leq m + n)

集合 (B) 和 (F) 分别将 (x_i) 变量划分为基本变量和自由变量。每个等式约束的左边是一个基本（松弛）变量，右边仅包含自由变量。自由变量仅出现在非负性约束的左边。系数 (a_{ij}) 构成一个 (m \times n) 的矩阵 (A)，其中 (n = |F|) 是标准形式中的变量数量，(m = |B|) 是标准形式中的约束数量。

以下是一个将标准形式的线性规划转换为松弛形式的示例：
标准形式：
最大化：
(z = x_1