17、未知阶群上的自双线性映射及相关应用

未知阶群上的自双线性映射及相关应用

在密码学领域，自双线性映射以及基于其构建的各种方案有着重要的地位。本文将详细介绍未知阶群上的自双线性映射的相关算法、硬度假设、具体构造以及应用。

1. 自双线性映射算法及性质

自双线性映射相关的主要算法包括：
- Sample(params) → g ：以 params 为输入，输出群 G 中几乎随机的元素 g。基于此元素定义自双线性映射 e : G × G → G。
- AIGen(params, ℓ, x) → τx ：接收 params、级别 ℓ 和整数 x 作为输入，输出对应级别的辅助信息 τx。
- Map(params, gx, τy) → e(gx, gy) ：输入 params、群元素 gx 和辅助信息 τy，输出 e(gx, gy)。通过迭代使用该算法，在给定 gx1, …, gxn 和 τx1, …, τxn 时可计算 en(gx1, …, gxn)。
- AIMult(params, ℓ, τx, τy) → τx+y ：输入 params、级别 ℓ 以及级别小于 ℓ 的辅助信息 τx 和 τy，输出级别为 ℓ 的辅助信息 τx+y。

此外，自双线性映射还需满足辅助信息的不可区分性：对于任意有效的算法，给定辅助信息时无法判断其是由 AIGen 还是 AIMult 生成。具体而言，对于特定的参数设置，以下两个分布在计算上不可区分：
- D1 = {τz : τz ← AIGen(params, ℓ, z)}
- D2